专题18 构造三角形中位线的常用技巧（解析版）.pdfVIP

专题18构造三角形中位线的常用技巧（解析版）

专题典例剖析及针对训练

类型一连接两中点构造中位线

典例1如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D、E分别是AB、AC的中点，F、G为BC上的两点，FG

＝3，线段DG，EF的交点为O，当线段FG在线段BC上移动时，三角形FGO的面积与四边ADOE的

面积之和恒为定值，则这个定值是（）

A．15B．12C．9D．6

思路指引：连接DE，过A作AH⊥BC于H．由于DE是AB、AC的中点，利用三角形中位线定理可得

1

DE∥BC，并且可知△ADE的高等于AH，再结合等腰三角形三线合一性质，以及勾股定理可求AH，那么

2

△ADE的面积就可求．而所求S△FOG+S四边形ADOE＝S△ADE+S△DOE+S△FOG，又因为△DOE和△FOG的底相等，

高之和等于AH的一半，故它们的面积和可求，从而可以得到S△FOG+S四边形ADOE的面积．

解：如图：连接DE，过A向BC作垂线，H为垂足，

∵△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，

11

∴DE，AH分别是△ABC的中位线和高，BH＝CH=BC=×6＝3，

22

∵AB＝AC＝5，BC＝6，由勾股定理得AH=2−2=52−32=4，

114

∴S△ADE=BC•=×3×=3，

2222

设△DOE的高为a，△FOG的高为b，则a+b==2，

2

1111

∴S△DOE+S△FOG=DE•a+FG•b=×3（a+b）=×3×2＝3，

2222

∴三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是

S△ADE+S△DOE+S△FOG＝3+3＝6．

故选：D．

方法点睛：本题属中等难度题目，涉及到三角形中位线定理，解答此类题目时一般只要知道中点要作中

位线，已知等腰三角形要作高线，利用勾股定理解答．

针对训练

1．如图，△ABC的中线BD，CE相交于点0，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG且EF＝DG．

A

ED

FG

BC

解：连接ED，FG.证四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG且EF＝DG．

A

ED

FG

BC

类型二连接第三边构造中位线

典例2（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连AE，

EF，G，H分别为AE，EF的中点，连GH