高考数学复习第8章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系文北师大版02.docVIP

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第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系

1．在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆与直线x－eq\r(3)y－4＝0相切，则圆O的方程为()

A．x2＋y2＝4

B．x2＋y2＝3

C．x2＋y2＝2

D．x2＋y2＝1

解析：选A.依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x－eq\r(3)y－4＝0的距离，即r＝eq\f(4,\r(1＋3))＝2，得圆O的方程为x2＋y2＝4.

2．(2016·泉州质检)若直线3x－4y＝0与圆x2＋y2－4x＋2y－7＝0相交于A，B两点，则弦AB的长为()

A．2 B．4

C．2eq\r(2) D．4eq\r(2)

解析：选D.圆x2＋y2－4x＋2y－7＝0的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝12，则圆心为(2，－1)，半径r＝2eq\r(3)，又圆心到直线3x－4y＝0的距离d＝eq\f(|6＋4|,5)＝2，所以弦AB的长为2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(12－4)＝4eq\r(2).

3．(2016·甘肃省诊断考试)已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4，O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a，b∈R)，则两圆的位置关系是()

A．内含 B．内切

C．相交 D．外切

解析：选C.由O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4得圆心坐标为(a，b)，半径为2；由O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1得圆心坐标为(a＋1，b＋2)，半径为1，所以两圆圆心之间的距离为|O1O2|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，因为|2－1|＝1＜eq\r(5)＜2＋1＝3，所以两圆相交，故选C.

4．(2015·高考安徽卷)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()

A．－2或12 B．2或－12

C．－2或－12 D．2或12

解析：选D.法一：由3x＋4y＝b，得y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(b,4)，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.

法二：由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1，1)，半径为1，所以eq\f(|3×1＋4×1－b|,\r(32＋42))＝1，解得b＝2或12.

5．(2016·唐山模拟)已知圆C：x2＋y2＝1，点M(t，2)，若C上存在两点A，B满足eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，则t的取值范围是()

A．[－2，2] B．[－3，3]

C．[－eq\r(5)，eq\r(5)] D．[－5，5]

解析：

选C.如图，连接OM交圆于点D.

因为eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，所以A是MB的中点，

因为圆x2＋y2＝1的直径是2，

所以MA＝AB≤2.

又因为MD≤MA，OD＝1，

所以OM≤3.

即点M到原点的距离小于等于3，

所以t2＋4≤9，所以－eq\r(5)≤t≤eq\r(5).

6．(2016·重庆一模)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一点，PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A是切点，若PA的最小长度为2，则k的值为()

A．3 B.eq\f(\r(21),2)

C．2eq\r(2) D．2

解析：选D.圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心是(0，1)，半径是r＝1，

因为PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A是切点，PA的最小长度为2，所以圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离为eq\r(5)，

由点到直线的距离公式可得eq\f(|1＋4|,\r(k2＋1))＝eq\r(5)，

因为k＞0，

所以k＝2，故选D.

7．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋(y－3)2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围为________．

解析：设A(a，0)，由题意可得A，P，C，Q四点共圆，且AC是该圆的一条直径，记该圆的圆心为D，则圆D的方程为x2＋y2－ax－3y＝0.易知PQ是圆C和圆D的公共弦，又圆C的方程为x2＋y2－6y＋7＝0，所以两圆方程相减可得PQ：ax－3y＋7＝0，则圆心C到直线PQ的距离d＝eq\f(2,\r(a2＋9))，又a2≥0，所以d∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))，所以|PQ|＝2eq\r(2－d2)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(14