2024北京市高考冲刺模拟卷（四） 教师版.docx

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2024北京市高考冲刺模拟卷（四）

一．选择题（共10小题，每小题4分）

1．已知集合，，则集合的子集个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

2．设复数，则的虚部是

A． B． C．1 D．

3．已知，是单位圆上的两点，为圆心，且，是圆的一条直径，点满足，则的取值范围是

A．， B．， C．， D．，

4．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

5．展开式中的第5项为常数项，则正整数的值为

A．2 B．3 C．4 D．5

6．如图，已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线依次交抛物线及圆于点，、、四点，则的值是

A．6 B．7 C．8 D．9

7．在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论中正确的是

A．若，，，则最大角为

B．若，，，则

C．若，则

D．若，，，则

8．“关于的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是

A． B． C． D．

9．十二水硫酸铝钾是一种无机物，又称明矾，是一种含有结晶水的硫酸钾和硫酸铝的复盐．我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到明矾晶体的结构，即为一个正八面体（如图）．假设该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦为

A． B． C． D．

10．数列满足：，给出下述命题：

①存在常数，使得都成立；

②存在常数，使得成立；

③若（其中，，，，则；

④若数列满足：，则成立．

上述命题正确的有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二．填空题（共5小题，每小题5分）

11．已知函数，若（2）（a），则．

12．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为．

13．有下列5个关于三角函数的命题：

①，；

②函数的图象关于轴对称；

③，；

④，，；

⑤当取最大值时，．

其中是真命题的是．

14．在公差大于0的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前21项和为．

15．设函数定义域为，对于区间，若存在，，，使得，则称区间为函数的区间，给出下列四个结论：

①当时，是的区间；

②若，是的区间，则的最小值为3；

③当时，，是的区间；

④当时，，不是的区间；

其中所有正确结论的序号为．

三．解答题（共6小题，共85分）

16．（13分）在三棱锥中，，平面，点是棱上的动点，点是棱上的动点，且．

（1）当时，求证：；

（2）当的长最小时，求二面角的余弦值．

17．（14分）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，且．

（1）求证：；

（2）若的平分线交于，且，求线段的长度的取值范围．

18．（13分）某企业有7个分行业，2020年这7个分行业的营业收入及营业成本情况统计如下表：

营业情况分行业

营业收入单位（亿元）

营业成本单位（亿元）

分行业1

41

38

分行业2

12

9

分行业3

8

2

分行业4

6

5

分行业5

3

2

分行业6

2

1

分行业7

0.8

0.4

（一般地，行业收益率．

（1）任选一个分行业，求行业收益率不低于的概率；

（2）从7个分行业中任选3个，设选出的收益率高于的行业个数为，求的分布列及期望；

（3）设7个分行业营业收入的方差为，营业成本的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）

19．（15分）已知椭圆的离心率，且椭圆过点，为椭圆的下顶点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若动点在以为直径的圆上，为椭圆上的任意一点，求的最大值；

（3）设，为椭圆上与不重合的两点，若直线与直线的斜率之和为，试判断是否存在定点，使得直线恒过点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（15分）已知函数．

（1）讨论函数的零点个数；

（2）若函数有两个极值点，，证明：．

21．（15分）若无穷数列满足，，则称具有性质．若无穷数列满足，，则称具有性质．

（1）若数列具有性质，且，请直接写出的所有可能取值；

（2）若等差数列具有性质，且，求的取值范围；

（3）已知无穷数列同时具有性质和性质，，且0不是数列的项，求数列的通项公式．

2024北京市高考冲刺模拟卷（四）

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，满分8分）

1．【解答】解：，2，3，，，

，

的子集个数为：．

故选：．

2．【解答】解：，

故，其的虚部是，

故选：．

3．【解答】解：根据题意，如图：点满足，则在线段上，

又由，是单位圆上的两点，为圆心，且，

则的最小值为到线段的距离，最大值为圆的半径，即，

是圆的一条直径，是的中点，则，

故有，则的取值范围是，；

故选：．

4．【解答】解：函数是上的减