重难点04 二次函数的存在性问题（ 命题预测 题型 专题训练 解题方法）-2025年中考数学一轮复习讲练（全国通用）（解析版）.docx

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第三章函数

重难点04二次函数存在性问题

（15种题型汇总+专题训练+9种解题方法）

【题型汇总】

【命题预测】抛物线与特殊图形的存在性问题多以解答题形式出现，难度较大，多为压轴题，考查几何代数综合.一般是在抛物线的背景下确定特殊图形(如等腰三角形、相似三角形、平行四边形等)的存在性，多应用分类讨论思想，

题型01二次函数角度存在性问题

角度存在性问题的解题步骤

已知特殊角度求解

已知角度关系求解

第一步

读题、画图、理解题意

第二步

分析动点、定点，找不变特征

第三步

确定分类特征，进行分类讨论

第四步

已知特殊角度，构造一线三垂直、一线三等角、直角三角形，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解.

将角度进行转化:利用锐角三角函数、相似三角形或等腰三角形的性质、外角的性质等转化为常见的类型，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解.

【温馨提示】

1）角相等：若无明显条件，首选利用锐角三角函数值构造相等角(先求已知角);

2）角度和差：可通过外角的性质、相似三角形的性质转化为相等角;

3）倍角：可通过外角的性质、等腰三角形的性质转化为相等角:

1）已知特殊角求解

1．（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线y=?43x2+bx+4与x轴交于A(?3,0)，B

??

(1)求抛物线解析式及B，C两点坐标；

(2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；

(3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)抛物线解析式为y=?43x2

(2)D?2,?4或D?4,4

(3)E

【分析】（1）将点A(﹣3,0)代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令x,y=0，即可求得

（2）分三种情况讨论，当AB，AC,BC为对角线时，根据中点坐标即可求解；

（3）根据题意，作出图形，作AG⊥CE交于点G，F为AC的中点，连接GO,GF，则A,O,C,G在⊙F上，根据等弧所对的圆周角相等，得出G在y=?x上，进而勾股定理，根据FG=52建立方程，求得点G的坐标，进而得出

【详解】（1）解：∵抛物线y=?43x2+bx+4

∴?

解得：b=?8

∴抛物线解析式为y=?4

当x=0时，y=4，

∴C0,4

当y=0时，0=?

解得：x1

∴B

（2）∵A(?3,0)，B1,0，C

设Dm,n

∵以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形

当AB为对角线时，m+0

解得：m=?2,n=?4，

∴D?2,?4

当AC为对角线时，?3+0

解得：m=?4,n=4

∴D

当BC为对角线时，?3+m

解得：m=4,n=4

∴D

综上所述，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，D?2,?4或D?4,4

（3）解：如图所示，作AG⊥CE交于点G，F为AC的中点，连接GO,GF，

??

∵∠ACE=45°

∴△AGC是等腰直角三角形，

∴A,O,C,G在⊙F上，

∵A(?3,0)，C0,4

∴F?32,2

∵∠AOG=∠ACG=45°，

∴G在y=?x上，

设Gt,?t，则

解得：t1

∴点G

设直线CG的解析式为y=kx+4

∴7

解得：k=1

∴直线CG的解析式y=

∵A(?3,0)，B1,0

∴抛物线对称轴为直线x=?3+1

当x=?1时，17

∴E?1,

【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周角角定理，勾股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．

2．（2024·山东临沂·二模）如图，已知抛物线y=ax2?83ax?3的图象经过点D，OE=3OC，C是ED

(1)求抛物线的表达式；

(2)若点P在x轴上方的拋物线上运动，连接OP，当四边形OCDP面积最大时，求n的值；

(3)如图，若点Q在坐标轴上，是否存在点Q，使∠EDQ=75°，若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)y=?

(2)n=

(3)存在，Q43

【分析】（1）根据C(0,?3)，OE=3OC，求出E(?3,0)．再根据C是

（2）过P作x轴垂线交DE于F，求出设直线DE解析式，由Pn,?3n2+83

（3）分为①当点Q在y轴上时，使∠EDQ=75°，根据OE=3OC，求出∠OEC=30°，过点D作DH∥x轴交y轴于点H，根据平行线性质得出∠CDH=30°，再根据∠EDQ=75°，得出∠HDQ=45°，得出HQ=HD，根据D(3,?23

②当点Q在x轴上时，使∠EDQ=75°，延长QD交x轴于点F，过点D作DE⊥x轴交x轴于点G，证明GF=GD=23，求出FD，再根据∠EDF=∠FQD，证明△F

【详解】（1）解：∵y=ax