专题39 中考最值难点突破阿氏圆问题（原卷版）.pdf

专题39中考最值难点突破阿氏圆问题（原卷版）

模块一典例剖析+针对训

类型一求和最小

典例1（2022秋•山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．

已知平面上两点A、B，则所有符合=k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希

腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．

阿氏圆基本解法：构造三角形相似．

【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内

一动点，且OP＝r，设=k，求PC+kPD的最小值．

阿氏圆的关键解题步骤：

第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；

第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．

下面是该题的解答过程（部分）：

解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，

又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．

任务：

（1）将以上解答过程补充完整．

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利

2

用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．

3

针对训练

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，

1

BP，求AP+BP的最小值．

2

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（6，﹣1），M（4，4），以M为圆心，22为半径画圆，O为原点，

P是⊙M上一动点，则PO+2PA的最小值为．

3．（2018•碑林区校级三模）问题提出：（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用

尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：

1

问题探究：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，PA＝3，求PC+PD的最小

2

值；

问题解决：（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当

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MC+MD最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．

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类型二求差最大

典例2（2020秋•天宁区校级月考）如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B＝60°，圆B的半径为4，点

1

P是圆B上的一个动点，则PD−PC的最大值为．

2

针对训练

1．（2018•常熟市二模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，

1

则PD−PC的最大值为．

2

2．（20