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《函数的单调性和最值》教学设计二

教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习回顾

复习函数的概念及初中学习的一次函数的图象与性质.

教师提出以下问题让学生思考：

1.函数是如何定义的？函数的概念包含几个要素？

2.函数常见的表示法有几种？各有什么特点？

3.函数的定义域怎样确定？如何表示？

4.函数研究的主要内容是什么？

5.你能画出函数与的图象吗？根据函数图象说明y值随x值的增大是如何变化的.

学生思考回答，动手画图分析.

复习函数的概念及函数的表示法，引导学生从概念出发研究函数的性质.

通过让学生画初中学习的一次函数的图象，观察图象变化情况，便于学生温故知新，在已有知识基础上去探求新知识.

探索新知

观察下面函数的图象，分析当自变量x变化时，函数值是怎样变化的.

如图，函数的图象在y轴右侧的部分是如何变化的？

抽象概括：

设函数的定义域为D：

如果对于任意的，当时，都有，那么就称函数是增函数.特别地，当Ⅰ是定义域D上的一个区间时，也称函数在区间Ⅰ上单调递增.

如果对于任意的，当时，都有，那么就称函数是减函数.特别地，当Ⅰ是定义域D上的一个区间时，也称函数在区间I上单调递减.

如果函数在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数在区间Ⅰ上具有单调性.此时，区间I为函数的单调区间.

若存在实数M，对所有的，都有，且存在，使得，则称M为函数的最大值.

同样地，可以定义函数的最小值，函数的最大值和最小值统称为最值.

单调性定义的辨析：

（1）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且，当时，都有，我们能说函数在区间D上单调递增吗？你能举例说明吗？

（2）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内单调递增的例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数的例子吗？

教师用多媒体展示图象，引导学生从左向右观察函数的图象上点的位置变化，让学生观察分析.

学生观察分析：对于区间，图象是上升的，每个区间上的函数值都随x值的增大而增大；对于区间，图象是下降的，每个区间上的函数值都随x值的增大而减小.

教师引导学生发现图象的最高点与最低点.

学生观察分析：当时，函数的图象位于最高点；当时，函数的图象位于最低点.

师：函数的图象在y轴右侧的部分是上升的，这是观察得到的结论，如何用代数的方式说明这一结论是正确的呢？

引导学生用代数的方式描述“随着x值的增大，y值也在增大”.

生：设，当时，.

教师引导学生用数学语言表达函数值的增减变化.

学生观察、讨论并交流.

先让学生思考完成，再组织全班交流.教师可以提醒学生用多种方法表示函数的单调性（特别是利用图象直观说明问题）.

通过学生对具体函数图象的观察与分析，使学生感受研究函数性质的必要性；结合初中已学的用定性法刻画函数单调性的知识，明确学习任务.

在观察分析过程中，将点的位置变化转化为随自变量的变化对应的函数值的变化，由对函数图象的观察转化为对函数性质的研究.

学生不一定能回答得比较完整，教师应抓住时机予以启发，特别要抓住其中的关键环节：如何表示随着自变量x增大对应的y值也增大？“随之”怎样用数学的方式体现？

让学生体会归纳类比的思想方法，发展学生的数学抽象的素心素养.

问题（1）是引导学生辨析定义中的“任意”二字；问题（2）既是为了区分“单调递增”与“增函数”“单调递减”与“减函数”等概念，同时也是为了引导学生认识函数在不同区间上单调递增（递减）时，在它们的并集上不一定保持单调递增（递减）的性质.

应用举例

例1、设，画出的图象，并通过图象直观判断它的单调性.

解：依题意知，其图象可由的图象向左平移3个单位长度得到（如图）.该函数在区间上单调递减.

例2、根据函数图象直观判断的单调性，并求出最小值.

解：函数可以表示为

画出该函数的图象（如图）.

由图象可知该函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时，取得最小值，最小值为0.

例3、判断函数的单调性，并给出证明.

解：画出函数的图象（如图），由图象可以看出，函数在定义域R上可能是减函数.

下面利用函数单调性的定义证明这一结论.

任取，且，则.

所以，

即.

由函数单调性的定义可知，函数在定义域R上是减函数.

这个证明是在定义域内任取，通过计算与的差，得到，从而由函数单调性的定义判断函数在定义域R上是减函数.

例4、判断函数的单调性，并给出证明.

解：画出函数的图象（如图），由图象可以看出，函数在定义域上可能是增函数.

任取，且，则.

所以.

由，可知，

即.

由函数单调性的定义可知，函数在定义域上是增函数.

例5、试用函数的单调性证明：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.

证明：任取，且.

因为，所以则，即.

这表明函数在区间上单调递减.

同理可证，函数在区间上单调递增.

教师用PP