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博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。——《礼记》

证明直线与圆相切的常见方法(总2

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博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。——《礼记》

证明直线与圆相切的常见方法

学习了直线与圆的位置关系,常会遇到证明一条直线是圆的切线的题目,如何证

明一条直线是圆的切线,一般会出现以下三种情况.

一、若证明是圆的切线的直线与圆有公共点,且存在连接公共点的半径,此时

可根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.简记为

“见半径，证垂直”.

例1如图1,已知AB为⊙O的直径,直线PA过点A,

且∠PAC=∠B.

求证:PA是⊙O的切线.

图1

分析：要证明PA是⊙O的切线，因为AB是⊙O的直径，所以只要证明AB⊥

AP.可结合直径所对的圆周为直角进行推理.

证明：因为AB为⊙O的直径，

所以∠ACB=90°，所以∠CAB+∠B=90°，

因为∠PAC=∠B，

所以∠CAB+∠PAC=90°，即∠BAP=90°，

所以PA是⊙O的切线.

二、若给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径，则连结公共点和

圆心，然后根据“经过半径外端且垂直这条半径的直线是圆的切线”来证明.简记

为“作半径，证垂直”.

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例2如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延

长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．

求证：DE是⊙O的切线．

证明：连接OC，则OA=OC，

所以∠CAO=∠ACO，

因为AC平分∠EAB，

所以∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，

所以AE∥CO，

又AE⊥DE，

所以CO⊥DE，

所以DE是⊙O的切线．

三、若直线与圆的公共点不明确时，则过圆心作该直线的垂线段，然后根据

“圆心到直线的距离等于圆的半径，该直线是圆的切线”来证明.简记为“作垂直，

证相等”.

例3如图3，已知，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙

O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F.

求证：CD与⊙O相切．

图3

分析：要识别“CD与⊙O相切”，由于不知道CD经过圆上哪一点，所以先过

点O作：ON⊥CD于N，再证明ON是⊙O半径。易知OM是⊙O的半径，只要证

明：OM=ON即可.

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证明：连结OM，作ON⊥CD于N，

因为⊙O与BC相切，

所以OM⊥BC.

因为四边形ABCD是正方形，

所以AC平分∠BCD.

所以OM=ON.