玩转21点数学建模论文.doc

数学建模竞赛论文

2013年4月4日

“行健杯”数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了“行健杯”数学建模竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问

题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正

文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反

竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是(从A/B中选择一项填写):A

参赛队员(打印并签名):1.

2.

3.

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名):教练组

日期：年月日

评阅编号(由组委会评阅前进行编号):

“行健杯”数学建模竞赛

编号专用页

评阅编号(由组委会评阅前进行编号):

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用):

评分

备注

统一编号：

评阅编号：

论文题目：21点纸牌游戏的决策问题

摘要：

21点纸牌游戏是世界上流行的纸牌游戏。在游戏中涉及要牌、分牌、比较大小赢牌的策略问题。本文首先规定21点游戏规则，通过建立数学模型对21点纸牌游戏中点数进行综合分析，从而为玩家提供决策。

问题一：在本问题中讨论做出是否要牌的决策。是否要牌取决于这两种情况下玩家赢牌的概率的大小。若要牌情况下赢牌概率大于停牌则要牌，否则停牌。因此，本文首先分析要牌与停牌条件下不同的获胜情况，并采用迭代法建立博弈模型，以玩家手牌点数和为12为例，计算出要牌与停牌两种情况下玩家赢牌的概率，得到以下结论：当庄家明牌点数为1到3和7到10时，要牌获胜概率大于停牌获胜概率，玩家应要牌。当庄家明牌点数为4到6时应停牌，最后用枚举法对模型加以优化并将模型加以推广从而制定最优决策。

问题二：在本问题中考虑多种附加规则，如黑杰克、保险、分牌以及双倍下注等规则来制定决策。首先针对是否买保险，建立模型，计算出买保险的期望收益为-9/13,不买保险的期望收益为-8/13,得出不应买保险的结论，然后，针对是否分牌，再次以玩家手牌点数和为12(两张6)为例，通过问题一中所建立的模型，计算玩家在分牌下获胜的概率，并与不分牌时获胜的概率相比较，得出以下结论，当庄家手牌点数为2到6时采取分牌策略，否则不分牌。将模型加以推广，得出所有情形下是否牌的决策。然后，针对是否双倍下注，再次通过枚举法建立模型，计算获胜概率，如获胜概率超过50%则应双倍下注，最后进行规划统一，得到全部规则下，最优决策表，并通过高低法建立算牌模型，辅助决策，以达到更高的胜率。

关键词：枚举法迭代法高低法黑杰克

一.问题背景：

21点游戏规则：站在圆弧桌子后面的荷官会一轮一轮向各位玩家手里发牌，每个人需要计算手里的几张牌点数加到一起是多少(J,Q,K的点数是10分；A有两种算法，1或者11,如果A算为11时总和大于21,则A算为1),如果点数超过了21就算爆牌，谁先爆牌谁就输了。在得到两张牌之后，玩家有权决定是否继续要牌。玩家的目标就是让自己手里的牌的点数和尽量接近21点，但是又不超过21点。现在的扑克牌赌博游戏中，洗牌都是在洗牌机中完成的，不过并不是每局洗一次，往往一套牌(由四到六副组成)在用掉一半左右之后，才会换一副洗过的新牌。这一规则使得21点游戏中有了“算牌”的机会，玩家可以记住前面几局中哪些牌已经打出，哪些牌还留在剩下的牌里。

21点游戏中涉及到的术语：

a)要牌：在现有牌基础上继续抽牌；

b)停牌：在现有牌基础上不在抽牌；

c)分牌：玩家遇到点数相同的牌可分为两墩牌；

d)双倍下注：玩家在拿到前两张牌之后，再下一注与原赌注相等的赌金

e)黑杰克：前两张手牌为A和10,则称为黑杰克。若是玩家有黑杰克而庄家没有，则玩家可赢得2倍赌金；相反，如果庄家有黑杰克玩家没有，则庄家收走玩家赌金；

f)保险：在庄家牌面为A时，玩家可以选择买保险，保险金为赌金的1/2。若此时庄家手牌为黑杰克，则玩家收回赌金及保险金；若庄