2024届全国高考(统考版)理科数学复习历年好题专项(立体几何的综合运用.pdfVIP

2024届全国高考(统考版)理科数学复习历年好题专项(立体几何的综合运用)练习

1．[2023ꞏ全国乙卷(理)]如图，

在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝22，PB＝PC＝6，BP，AP，BC的

中点分别为D，E，O，AD＝5DO，点F在AC上，BF⊥AO.

(1)证明：EF∥平面ADO；

(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；

(3)求二面角D-AO-C的正弦值．

2．[2022ꞏ全国乙卷(理)，18]如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，

E为AC的中点．

(1)证明：平面BED⊥平面ACD；

(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平

面ABD所成的角的正弦值．

3．[2023ꞏ安徽省安庆市高三二模]如图，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AB

＝BC＝2CD，△PBC是等腰三角形，PB＝PC，且平面PBC⊥平面ABCD.

(1)求证：BC⊥PA；

(2)如果直线PD与平面ABCD所成角的大小为45°，求平面PAD与平面PBC所成锐二

面角的余弦值．

4．[2023ꞏ全国甲卷(理)]如图，在三棱柱ABC-ABC中，AC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，

1111

AA＝2，A到平面BCCB的距离为1.

1111

(1)证明：AC＝AC；

1

(2)已知AA与BB的距离为2，求AB与平面BCCB所成角的正弦值．

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5．[2023ꞏ安徽省皖北协作区联考]如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，

π→1→

AB⊥BC，BE∥CD，∠BCD＝，AB＝2，BC＝CD＝1，CM＝CA.

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(1)线段AD上是否存在一点P，使得AF∥面BMP？若存在，确定点P的位置，若不存

在，请说明理由；

(2)求直线DM与平面DEF所成角的正弦值．

参考答案

1．答案解析：(1)如图，

ABOB2

因为AB⊥BC，AB＝2，BC＝22，O是BC的中点，所以＝＝，所以

BCAB2

△OBA∽△ABC.

记BF与AO的交点为H，则∠BHA＝90°，又∠ABC＝90°，∠BAH＝∠OAB，所以

△BHA∽△OBA，所以△BHA∽△ABC，所以∠HBA＝∠CAB，又∠C＋∠CAB＝90°，∠CBF

＋∠HBA＝90°，所以∠C＝∠CBF，所以CF＝BF，同理可得BF＝FA，所以F是AC的中

点．

因为E，F分别是AP，AC的中点，所以EF∥PC，同理可得DO∥PC，

所以EF∥DO.

又DO⊂平面ADO，EF⊄平面ADO，所以EF∥平面ADO.

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