新高考数学二轮培优训练专题03 正余弦定理及其应用（解析版）.doc

专题03正余弦定理及其应用

1、（2023年全国乙卷数学（文））在中，内角的对边分别是，若，且，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题意结合正弦定理可得，

即，

整理可得，由于，故，

据此可得，

则.

故选：C.

2、（2023年全国甲卷数学（理））在中，，，D为BC上一点，AD为的平分线，则_________．

【答案】

【详解】

如图所示：记，

方法一：由余弦定理可得，，

因为，解得：，

由可得，

，

解得：．

故答案为：．

方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，

由正弦定理可得，，解得：，，

因为，所以，，

又，所以，即．

故答案为：．

3、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在中，已知，，，则（）

A．1 B． C． D．3

【答案】D

【解析】设，

结合余弦定理：可得：，

即：，解得：（舍去），

故.

故选：D.

4、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．

【答案】

【解析】文由题意，，

所以，

所以，解得（负值舍去）.

故答案为：.

5、（2023年全国甲卷数学（文））在中，已知，，.

(1)求；

(2)若D为BC上一点，且，求的面积.

【详解】（1）由余弦定理可得：

，

则，，

.

（2）由三角形面积公式可得，

则.

6、（2023年全国甲卷数学（文））记的内角的对边分别为，已知．

(1)求；

(2)若，求面积．

【详解】（1）因为，所以，解得：．

（2）由正弦定理可得

，

变形可得：，即，

而，所以，又，所以，

故的面积为．

7、（2023年新高考天津卷）在中，角所对的边分別是．已知．

(1)求的值；(2)求的值；(3)求．

【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；

（2）由余弦定理可得，，即，

解得：或（舍去）．

（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，

所以都为锐角，因此，，

故．

8、（2023年新课标全国Ⅰ卷）已知在中，．

(1)求；

(2)设，求边上的高．

【详解】（1），

，即，

又，

，

，，

即，所以，

.

（2）由（1）知，，

由，

由正弦定理，，可得，

，

.

9、（2023年新课标全国Ⅱ卷）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．

(1)若，求；

(2)若，求．

【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，

??

则，解得，

在中，，由余弦定理得，

即，解得，则，

，

所以.

方法2：在中，因为为中点，，，

则，解得，

在中，由余弦定理得，

即，解得，有，则，

，过作于，于是，，

所以.

（2）方法1：在与中，由余弦定理得，

整理得，而，则，

又，解得，而，于是，

所以.

方法2：在中，因为为中点，则，又，

于是，即，解得，

又，解得，而，于是，

所以.

10、【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinC

(1)若A=2B，求C；

(2)证明：2

【解析】(1)由A=2B，sinCsinA?B=sinBsinC?A可得，sinCsinB=sinBsinC?A，而0Bπ2

(2)由sinC

sinC

accos

12

2a2=b2+c2，故原等式成立．

11、【2022年全国乙卷】记

(1)证明：2a

(2)若a=5,cosA=25

【解析】(1)

证明：因为sinC

所以sinC

所以ac?a

即a2

所以2a

(2)：因为a=5,cos

由（1）得b2

由余弦定理可得a2

则50?50

所以bc=31

故b+c2

所以b+c=9，

所以△ABC的周长为a+b+c=14.

12、【2022年新高考1卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA

(1)若C=2π3，求

(2)求a2

【解析】(1)

因为cosA1+sin

而0Bπ2，所以

(2)由（1）知，sinB=?cosC0

而sinB=?

所以C=π2+B

所以a

=2

当且仅当cos2B=22时取等号，所以

题组一、运用正、余弦定理解决边角及面积问题

1-1、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）（多选题）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（????）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】利用余弦定理代入式子中能得到，结合的范围即能得到答案

【详解】解：根据余弦定理可知，代入，可得，即，

因为，所以或，

故选：BD.

1-2、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

(1)求;

(2)若,求外接圆的半径R．

【答案】(1)；(2)

【分析】(1)将写为代入化简可得,根据,即可得;

(2)由正、余弦定理可将化简为,进一步化