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常见拓扑空间的拓扑性质

胡云枫

(华中师范大学数学与统计学学院武汉430079)

【摘要】本文详细的阐述了点集拓扑中几类常见拓扑空间—余可数拓扑、余有限拓扑、上限拓扑和下限拓扑的拓扑性质，并给出了详细的证明.

【关键词】常见拓扑空间拓扑性质详细证明

1引言

拓扑学是大学数学专业中最抽象一门的课程，其中有许多的概念和定理.之前关于拓扑空间的拓扑性质的文章，大都只是从某个拓扑空间的某个性质出发，并没有将很系统的阐述这个拓扑空间的一类性质.故本文将对一些常见的拓扑空间的简单性质进行详细的的说明，并给出具体证明.

2余可数拓扑的拓扑性质

2.1余可数拓扑的定义

定义1(余可数拓扑)设X为非空集合，子集族T称为X上的一个余可数拓扑，如果T={A:ACX,#(A)≤No}U{0}

其中出(A)表示集合A的势，N?表示自然数集的势.为方便叙述，记T余可数为X上的余可数拓扑.

当X为可数集时，则T为X上的离散拓扑，而离散拓扑的性质，我们已经非常了解，故下文中

均假设X为不可数集.

2.2余可数拓扑的可数性

定理2.2.1(X,T余可数)为非第一可数空间.证明：(反证法)

假设(X,T余可数)为第一可数空间，则

Vp∈X,3可数局部基Bp={Bip:i∈N+,Bip∈T余可数}

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因为Bip∈T余可数，所以B为可数集，从而UieN+Bip为可数集.而X不可数，故

aeX,st.aUBip,且a≠p

取Gp=X\{p},则Gp为p的一个邻域，但Vi∈N+,BipGp,矛盾.口

推论2.2.1(X,T余可数)为非第二可数空间.

定理2.2.2(X,T余可数)为非可分空间.

证明：VACX,A为可数集，由于X为余可数拓扑，则A为闭集，故

A=ASX

所以X不可分.口

定理2.2.3(X,T余可数)为Lindel?f空间.

证明：Vd={A?:i∈A}为X的一个开覆盖，则有VA;∈d,A。为可数集，记为

A={a;:j∈I}

其中I为可数集.又

Va;∈A。,3A;∈d,s.t.a;∈A;

故=(UjerA;)UA?为X的一个可数开覆盖，即X为Lindel?f空间.口

2.3余可数拓扑的分离性

定理2.3.1(X,T余可数)为T?-空间.

证明：Va,b∈X,a≠b,取Ga=X\{6},Gb=X\{a}.则有

a∈Ga,b∈Ga且b∈Gb,adGb

所以X为T-空间.口

定理2.3.2(X,T余可数)为非T?(或Hausdorff)-空间.证明：(反证法)

假设X为T?空间，则

Va,b∈X,3Ga,G?∈T余可数，8.t.a∈Ga,b∈Go且GaNGb=0

于是GSUGS=X.而G与G均为可数集，故GUG为可数集，与X为不可数集矛盾.口

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推论2.3.1(X,T余可数)为非T?-空间且为非T?-空间.

2.4余可数拓扑的紧致性

定理2.4.1(X,T余可数)为非紧致空间.

证明：任取可数集ACX,记A={a?,a?,a3,…}.则

为X的一个开覆盖，其中Ai=X\{ai,ai+1,Qi+2,…}.显然，这个开覆盖不存在有限子覆盖.

故X不是紧致空间.口

定理2.4.2(X,T余可数)为非可数紧致空间.证明：仿造定理2.4.1的证明.

推论2.4.1(X,T余可数)为非序列紧致空间.

证明：因为序列紧致空间→可数紧致空间，而(X,T余可数)非可可数紧致，故其非序列紧致.口

推论2.4.2(X,T余可数)为非聚点紧致空间.证明：(反证法)

假设(X,T余可数)聚点紧致空间，又由于(X,T余可数)为T?-空间，则(X,T余可数)为可数紧致空间，矛盾.口

2.5余可数拓扑的连通性

定理2.5.1(X,T余可数)为连通空间.证明：(反证法)

若X不连通，则

3非空闭集Fi,F2,s.t.X=F?UF?

其中F?UF?表示F,F?的不交并.

而X为余可数空间，所以F?,F?为可数集，从而F?UF?为可数集.但是X不可数，矛盾.口

定理2.5.2(X,T余可数)为局部连通空间.证明：(反证法)

若X不是局部连通空间，则

p∈X,s.t.3Gp为p的一个开邻域，且Gp为不连通子集

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由不连通子集的定义，

3X中两个非空闭集Fi,F2,s.t.Gp