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常见拓扑空间的拓扑性质
胡云枫
(华中师范大学数学与统计学学院武汉430079)
【摘要】本文详细的阐述了点集拓扑中几类常见拓扑空间—余可数拓扑、余有限拓扑、上限拓扑和下限拓扑的拓扑性质,并给出了详细的证明.
【关键词】常见拓扑空间拓扑性质详细证明
1引言
拓扑学是大学数学专业中最抽象一门的课程,其中有许多的概念和定理.之前关于拓扑空间的拓扑性质的文章,大都只是从某个拓扑空间的某个性质出发,并没有将很系统的阐述这个拓扑空间的一类性质.故本文将对一些常见的拓扑空间的简单性质进行详细的的说明,并给出具体证明.
2余可数拓扑的拓扑性质
2.1余可数拓扑的定义
定义1(余可数拓扑)设X为非空集合,子集族T称为X上的一个余可数拓扑,如果T={A:ACX,#(A)≤No}U{0}
其中出(A)表示集合A的势,N?表示自然数集的势.为方便叙述,记T余可数为X上的余可数拓扑.
当X为可数集时,则T为X上的离散拓扑,而离散拓扑的性质,我们已经非常了解,故下文中
均假设X为不可数集.
2.2余可数拓扑的可数性
定理2.2.1(X,T余可数)为非第一可数空间.证明:(反证法)
假设(X,T余可数)为第一可数空间,则
Vp∈X,3可数局部基Bp={Bip:i∈N+,Bip∈T余可数}
2
因为Bip∈T余可数,所以B为可数集,从而UieN+Bip为可数集.而X不可数,故
aeX,st.aUBip,且a≠p
取Gp=X\{p},则Gp为p的一个邻域,但Vi∈N+,BipGp,矛盾.口
推论2.2.1(X,T余可数)为非第二可数空间.
定理2.2.2(X,T余可数)为非可分空间.
证明:VACX,A为可数集,由于X为余可数拓扑,则A为闭集,故
A=ASX
所以X不可分.口
定理2.2.3(X,T余可数)为Lindel?f空间.
证明:Vd={A?:i∈A}为X的一个开覆盖,则有VA;∈d,A。为可数集,记为
A={a;:j∈I}
其中I为可数集.又
Va;∈A。,3A;∈d,s.t.a;∈A;
故=(UjerA;)UA?为X的一个可数开覆盖,即X为Lindel?f空间.口
2.3余可数拓扑的分离性
定理2.3.1(X,T余可数)为T?-空间.
证明:Va,b∈X,a≠b,取Ga=X\{6},Gb=X\{a}.则有
a∈Ga,b∈Ga且b∈Gb,adGb
所以X为T-空间.口
定理2.3.2(X,T余可数)为非T?(或Hausdorff)-空间.证明:(反证法)
假设X为T?空间,则
Va,b∈X,3Ga,G?∈T余可数,8.t.a∈Ga,b∈Go且GaNGb=0
于是GSUGS=X.而G与G均为可数集,故GUG为可数集,与X为不可数集矛盾.口
3
推论2.3.1(X,T余可数)为非T?-空间且为非T?-空间.
2.4余可数拓扑的紧致性
定理2.4.1(X,T余可数)为非紧致空间.
证明:任取可数集ACX,记A={a?,a?,a3,…}.则
为X的一个开覆盖,其中Ai=X\{ai,ai+1,Qi+2,…}.显然,这个开覆盖不存在有限子覆盖.
故X不是紧致空间.口
定理2.4.2(X,T余可数)为非可数紧致空间.证明:仿造定理2.4.1的证明.
推论2.4.1(X,T余可数)为非序列紧致空间.
证明:因为序列紧致空间→可数紧致空间,而(X,T余可数)非可可数紧致,故其非序列紧致.口
推论2.4.2(X,T余可数)为非聚点紧致空间.证明:(反证法)
假设(X,T余可数)聚点紧致空间,又由于(X,T余可数)为T?-空间,则(X,T余可数)为可数紧致空间,矛盾.口
2.5余可数拓扑的连通性
定理2.5.1(X,T余可数)为连通空间.证明:(反证法)
若X不连通,则
3非空闭集Fi,F2,s.t.X=F?UF?
其中F?UF?表示F,F?的不交并.
而X为余可数空间,所以F?,F?为可数集,从而F?UF?为可数集.但是X不可数,矛盾.口
定理2.5.2(X,T余可数)为局部连通空间.证明:(反证法)
若X不是局部连通空间,则
p∈X,s.t.3Gp为p的一个开邻域,且Gp为不连通子集
4
由不连通子集的定义,
3X中两个非空闭集Fi,F2,s.t.Gp
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