圆的性质 重难点突破 2024-2025学年人教版九年级数学上册.docx

突破1圆的性质(一)半径的运用

类型一连半径构等腰求角度

1.(2023江汉期中)如图,⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E.若DE=OC,∠AOC=84°,则∠E的度数为.

2.(2024武钢实验)如图，以AB为直径的半圆O经过点C，以A为圆心，AC为半径画弧交AB于点D，连接CD.若CD=12AB,则∠BCD

类型二连半径构等腰求长度

3.(2024武汉一初)如图,AB是⊙O的弦,C是AB上的一点,且(OC⊥OA,OC=BC..若⊙O的半径为6，求弦AB的长.

类型三连半径构等腰求比值

4.(2024原创题)如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,CD,AB的延长线交于点M.若∠AOC=3∠M=45°,求CDDM的值

类型四连半径构全等

5.(2024七一华源)如图,⊙O的弦AB,CD的延长线交于点P,连接OP,且OP平分.∠APC.求证:PA=PC.

突破2圆的性质(二)共圆及最值

类型一证四点共圆

1.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=53,BC=8,CD=6,AD=5.求证:A,B,C,D四点在同一个圆上.

类型二四点共圆，直径是圆中最长的弦

2.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,AC=8,则BD的最大值为.

3.(2023七一华源)如图,等边△ABC的边长为3,F为BC上的动点,DF⊥AB于点D,EF⊥AC于点E,连接DE,则DE的长的最小值为.

类型三直角隐圆穿心求最值

4.(2024武昌)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=4,P是△ABC外一点,且∠APB=90°,则线段PC的最大值为.

5.(2023二中广雅)如图,在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为.

突破3圆的性质(三)垂径定理——作单弦心距

类型一弦与直径平行

1.(2022青山期末)如图,⊙O的直径AB=10,C,D是圆上的两点,AB‖CD,∠ACD=30°,则AC的长为.

类型二弦与直径斜交

2.(2023经开一初期中)如图,⊙O的弦CD交直径AB于点E,(OD=DE,CE:DE=3:5.5.若OE=5,则CD的长为()

A.45B.410C.310

3.(2024汉阳)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,且PA=2,PB=10,∠DPB=30°,则CD的长为.

类型三弧的中点得垂径公众号→全科A+

4.(2023华科大附中)如图,在半径为3的⊙O中,AB是直径,AC是弦,D是.AC的中点，AC与BD交于点E.若E是BD的中点,则AC的长是()

A.532B.33C.3

类型四弦的中点得垂径

5.(2023武珞路中学)如图,AB为半圆O的直径,E为弦BC的中点,F为AC的中点，连接AE，EF.若AE=BC,AB=27,则EF的长为

突破4圆的性质(四)垂径定理——作双弦心距

类型一两弦垂直

1.(2024七一华源)如图,⊙O的半径是6,弦.AB=10,弦CD=8,且AB⊥CD于点P,则OP的长是.

类型二两弦平行

2.(2024中考模拟)如图,在直径为10cm的⊙O中,两条弦AB,CD分别位于圆心的异侧,AB‖CD,且CD=2AC,若AB=8cm,则CD

3.(2024洪山)如图,△ABC是⊙O的内接正三角形,弦EF过BC的中点D,且EF‖AB,若AB=4,则DE的长为.

类型三两弦斜交

4.如图，在半径为13的⊙O中,弦AB与CD相交于点E,∠DEB=75°,AB=6,AE=1,求CD的长.

突破5圆的性质(五)直径的运用

类型一见直径连直角

1.(2023内蒙古)如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,D是AC上一点，P是AB延长线上一点，连接AD,DC,CP.

(1)求证:∠ADC-∠BAC=90°;

(2)若∠ACP=∠ADC,,⊙O的半径为3,CP=4,求AP的长.

类型二遇直角连直径

2.(2024黄州)如图,AB,AC,AD为⊙O的弦,∠BAC