二次函数与定值重难点突破 2024-2025学年人教版九年级数学上册.docx

二次函数与定值重难点突破

突破35二次函数与定值(一)和差定值

类型一和为定值

1.(2022二中广雅)如图，抛物线y=-x2+1与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，直线y=12x+b交抛物线于P,Q两点,直线BP,BQ分别交y

2.(2024东西湖期末改)如图，抛物线y=12x2-x-4与x轴交于A，B两点，C是x轴下方的抛物线上任意一点，D是线段AB上的一定点(点D不与点A，B重合)，过点D作y轴的平行线与射线BC,AC分别交于E,F两点.

3.如图,过点F(0,2)的直线.y=kx+b与抛物线y=18x2交于Mx?y?和Nx?

类型二差为定值

4.(2023硚口期中改)如图，抛物线y=-14x2+4交x轴于A,B两点(A左B右),E在第四象限的抛物线上运动，点F与点E关于y轴对称，直线.x=1分别交直线

5.(2022武珞路中学)如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点C，T是抛物线上一点，且点T与点C关于抛物线的对称轴对称，过点T的直线TS与抛物线有唯一的公共点，直线MN‖TS交抛物线于M，N两点，连接AM交y轴正半轴于点G，连接AN交

突破36二次函数与定值(二)积商定值

类型一商为定值

1.(2022江汉四校联盟改)如图，点P在抛物线y=18x2上，点P与点Q关于y轴对称，A为抛物线上另一动点，PA交y轴于点M，AQ交y轴于点N.

类型二积为定值

2.(2022汉阳)如图,抛物线y=-x2-3x+4与x轴正半轴交于点B，过点Tt-1的任意直线EF(不与y轴平行)与抛物线交于点E，F，直线BE，BF分别交y轴于点P，Q.

突破37二次函数与定值(三)长度定值

类型长度定值

1.如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，P为抛物线上一动点.当点P运动到第四象限时，连接AP，BP，直线BP交y轴于点R，过点B作直线l‖

2.(2022江夏)如图,抛物线y=-x2-x+2与x轴交于A，C两点(点A在点C的左边)，对称轴与x轴交于点M，P为抛物线上对称轴左侧一点，直线PM交抛物线于另一点Q，点P关于抛物线对称轴的对称点为H，直线HQ交抛物线对称轴于点G.在点P运动过程中，GM

突破35二次函数与定值(一)和差定值

1.解：联立y=12x+b,

∴xp+xQ=-1

联立y=px+q,y=-x2

∴xp+xB=-p,xpxB=q-1,

∴p=-

∴直线BP:y=(-xp-1)x+xp+1,

同理得直线QB:y=

∴OC=xp+1,OD=x?+1,

∴OC+OD=

2.解:由12x2-x-4=0,

∴A(-2,0),B(4,0),由A(-2,0),

C

可得直线ACy=

由B(4,0),C(m,

可得直线BC:y=

设点D(t,0),则E(t,1

∴DE+5DF=-12m+1

∵DE+5DF是定值,∴t=-1,

∴D(-1,0),∴AD=1,BD=5,∴AD=1

3.证明:直线MN的解析式为y=kx+2,联立y=18x

∴x?+x?=8k,x?x?=-16,

∴y?+y?=k

y

∵FM=

FN=

∴1FM

4.解:由-14x2+4=0,解得.x=±4,∴A(-4,0),B(4,0).设点Em-14m2+4,则点F-m-14m2+4,

同理可得，点Q的坐标为1

则PG-QG=

5.解:可求A(-1,0),抛物线y=x2-2x-3的对称轴为直线x=1.

∵C(0,-3)与点T关于抛物线的对称轴对称,∴T(2,-3).设直线TS为y=kx+b,将T(2,-3)代入,得-3=2k+b,∴b=-2k-3,

∴直线TS为y=kx-2k-3,联立y=x2-2x-3,

∵直线TS与抛物线有唯一的公共点，

∴△=0,即k2+4k+4-8k=0,

解得k=2,∴直线TS为y=2x-7.

∵直线MN∥TS,∴设直线MN为y=2x+h,

联立y=x2-2x-3,y=2x+h,得x2-4x-3-h=0,∴x

联立y=x2-2x-3,

∴

∵

设直线AN的解析式为y=nx+n,

同理可得H(0,n),xn=n+3,

∴m+3+n+3=4,∴m+n=-2,

∴OH-OG=-n-m=--(m+n)=2.

突破36二次函数与定值(二)积商定值

1.解：设点P(m,18m2),A(a,18a2),则

∴AQ的解析式为y=

∴ON=|am8|,同理AP