专题18 正方形中“外角平分线”模型（解析版）.pdfVIP

专题18正方形中“外角平分线”模型

解题思路

【模型归纳】

典例分析

【典例1】（春•双鸭山期末）如图，四边形ABCD是正方形，E是BC边所在直

线上的点，AEF＝90°，且EF交正方形外角DCG的平分线CF于点

F．

（1）当点E在线段BC中点时（如图1），易证AE＝EF，不需证明；

（2）当点E在线段BC上（如图2）或在线段BC延长线上（如图3）时，

（1）中的结论是否仍然成立？请写出你的猜想，并选择图2或图3的一种结

论给予证明．

【答案】（2）成立

【解答】解：（1）取AB中点M，连接ME，

∵点E在线段BC中点，点M是AB中点，

∴AM＝BM＝BE＝CE

∴BME＝45°，

∴AME＝135°，

∵CF是外角平分线，

∴DCF＝45°，

∴ECF＝135°，

∴AME＝ECF，

∵AEB+BAE＝90°，AEB+CEF＝90°，

∴BAE＝CEF，

∴△AME≌△ECF（ASA），

∴AE＝EF．

（2）图2：结论是AE＝EF

理由如下：

在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．

∴BM＝BE，

∴BME＝45°，

∴AME＝135°，

∵CF是外角平分线，

∴DCF＝45°，

∴ECF＝135°，

∴AME＝ECF，

∵AEB+BAE＝90°，AEB+CEF＝90°，

∴BAE＝CEF，

∴△AME≌△ECF（ASA），

∴AE＝EF．

图3结论是AE＝EF，

理由如下：

在BA的延长线上取一点N．

使AN＝CE，连接NE．

∴BN＝BE，

∴N＝NEC＝45°，

∵CF平分DCG，

∴FCE＝45°，

∴N＝ECF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BE，

∴DAE＝BEA，

即DAE+90°＝BEA+90°，

∴NAE＝CEF，

∴△ANE≌△ECF（ASA），

∴AE＝EF．

【变式1-1】（春•海淀区校级期中）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边

BC上一点，且AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．若正方

形边长是8，EC＝2，则FC的长为．

【答案】6

【解答】解：在AB上取点P，使AP＝CE，连接EP，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，B＝BCD＝90°，

∵AP＝EC，

∴BP＝BE，

∴BPE＝45°，APE＝135°，

∵CF是正方形外角的平分线，

∴ECF＝135°，

∵AEF＝90°，B＝90°，

∴BAE＝CEF，

在△PAE和△CEF中，，

∴△PAE≌△CEF（ASA），

∴PE＝CF，

∵AB＝BC＝8，AP＝CE＝2，

∴PB＝BE＝6，

∴CF＝PE＝PB＝6；

故答案为：6．

【变式1-2】（2021春•柳南区校级期末）如图1，四边形ABCD是正方形，点E

是边BC的中点，AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角DCG的平分

线CF于点F．

（1）如图2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF．

（2）如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件

不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，

请