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高斯型求积公式;卡尔·弗里德里希·高斯

〔〕，

生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国数学家、物理学家和天文学家，大地测量学家。近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。;3.6高斯〔Gauss〕型求积公式;主要内容;高精度求积公式;1.定义：有n个节点的求积公式;4位有效数字;如果Gauss点位置确定，那么可以通过插值型求积公式确定求积系数Ak;定理：;充分性：如果w(x)与任意次数不超过n-1的多项式正交，那么其零点必为Gauss点;高斯求积定理;利用Gauss点的性质确定两点Gauss公式;定义：;四.高斯型求积公式的构造;;解：;Gauss-Legendre多项式的Gauss点及求积系数;解：作变换;假设用n=3的Gauss-Legendre公式，那么;分别用不同方法计算如下积分,并做比较;二:用复化梯形公式

令h=1/8=0.125;四、Romberg公式

KTnSnCnRn

00.9207355

10.93979330.9461459

20.94451350.94608690.9400830

30.94569060.94608330.94608310.9460831;五、Gauss公式

令x=(t+1)/2,

用2个节点的Gauss公式;此例题的精确值为0.9460831...

由例题的各种算法可知：

对Newton-cotes公式，当n=1时只有1位有效数字，当n=2时有3位有效数字，当n=5时有7位有效数字。

对复化梯形公式有2位有效数字，对复化Simpson公式有6位有效数字。

用复化梯形公式，对积分区间[0，1]二分了11次用2049个函数值，才可得到7位准确数字。

用Romberg公式对区间二分3次，用了9个函数值，得到同样的结果。

用Gauss公式仅用了3个函数值，就得到结果。

;五.高斯求积公式的误差;六.高斯求积公式的稳定性;1：梯形求积公式和Simpson求积公式是低精度的方法，但对于光滑性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的效果。复化梯形公式和复化Simson求积公式，精度较高，计算较简，使用非常广泛。