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数学物理方程课程教学的实践与认

识

数学物理方程主要指从物理学和其他各门自然科学、技术科

学中所产生的偏微分方程[1]。它是数学理论联系实际问题的一个重要

桥梁。数学物理方程课程就是通过讲授三类典型的数学物理方程（即

波动方程，热传导方程和调和方程）的导出、定解问题的求解以及解

的性质的探讨来培育同学把握基本的数学物理方程的理论、方法和技

巧，形成理性思维品质以及具有较高的分析和解决实际问题的力量，

为后续课程的学习或者从事相关工作奠定基础。

目前，数学物理方程课程是国内众多高校数学类有关专业本

科生的一门重要的专业基础课，同时也是物理、力学和土木等理工科

专业本科生或讨论生的一门专业必修课。然而在这门课教与学的过程

中，同学普遍反映难学，老师普遍反映难教。究其缘由，主要有以下

几个方面：（1）该课程涉及的专业学问多。学习这门课程需要同学事

先把握数学分析线性代数常微分方程复变函数与高校物理等课程的

有关学问。（2）该课程的理论性强、计算量大。在介绍三类典型方程

定解问题的求解过程中，会有很多数学理论和方法，其计算过程往往

简单、冗长，同学易产生畏难心情。（3）同学缺乏运用数学学问解决

实际问题的力量。这直接导致同学反映作业难度大。针对这些问题，

笔者结合自身的教学实践，谈谈对这门课教学的一些做法和体会。

1督促同学复习相关基础学问

学习数学物理方程课程，需要同学具备较好的数学和物理基

础，即要预先把握上面提到的一些基础课程的相关学问。例如在讲授

三类典型方程的导出时，频繁用到数学分析中二重与三重积分、曲面

积分、Green公式和场论初步等学问；讲授用分别变量法求解三类方

程的定解问题时，需要求解二阶齐次常微分方程的特征值问题；讲授

用Fourier变换法求解热传导方程的Cauchy问题时，需要同学会利用

复变函数中的Cauchy积分定理来求解已知函数的Fourier逆变换。同

学虽已学过这些学问，但可能没有学好或者遗忘。因此在讲授这些内

容前，都要督促同学提前复习有关基础学问，这对课堂教学起到了重

要的铺垫作用。否则，同学听课就会感到费解，从而渐渐失去学习爱

好。另外，老师在介绍三类方程的导出时，应带领同学准时回顾有关

物理学问，如冲量定理和热量守恒定律等，这都有利于同学的理解。

2结合课程特点讲授内容，突出重点

2.1突出课程的主要内容

在课程内容的选择上，应依据专业特点及培育方案，精选经

典的内容，淘汰简单难懂的内容。在课时较少的状况下，更应如此。

以数学系信息与计算科学专业该课程的教学为例，应重点讲授三类方

程的导出、定解问题的提法、定解问题的适定性理论、解的性质以及

解的物理意义这些内容；具体讲解行波法、分别变量法、Fourier变

换法和格林函数法。通过例题讲解和习题训练让同学坚固把握这些方

法，这有利于培育同学分析、解决实际问题的力量。

2.2突出讲授最基本的数学思想

在讲授课程内容的过程中，应突出讲授其中蕴含的最基本的

数学思想，即转化思想。它是将各种简单的或者未知的问题通过适当

的变换转化为简洁的或者已知的问题，从而最终解决原问题。数学物

理方程课程教学过程中广泛体现了这一数学思想，例如在讲三类方程

的导出时，我们从实际问题动身，抓住主要因素，忽视次要因素，从

而将实际问题转化为数学模型；在讲分别变量法时，我们利用线性方

程的叠加原理，将偏微分方程的边值问题转化为常微分方程的特征值

问题来进行求解；在解非齐次方程的有关定解问题时，我们利用齐次

化原理将其转化为齐次方程的情形处理，等等。转化思想充分体现了

人们不断化繁为简、化难为易、化未知为已知的熟悉过程[2]。突出讲

授这一数学思想，可以培育同学把握科学的思维方法，从而提高他们

运用数学学问解决实际问题的力量。

2.3突出有关内容的物理背景

数学物理方程主要来源于物理学和工程技术学科中，从每一

类方程的导出到基本概念的建立，到解决问题的方法，最终到解的物

理意义的阐述，无不与有关物理现象紧密相连。因此讲授这门课，要

讲清晰有关内容的物理背景。这样某些数学概念和结果就有了直观性，

既有利于同学理解和记忆，又有助于培育同学的数学想象力。比如在

讲授二维和三维波