新高考数学一轮复习精品讲练测第2章第01讲 函数及其性质（单调性 奇偶性、周期性、对称性）（教师版）.docVIP

第01讲函数及其性质

（单调性、奇偶性、周期性、对称性）

（核心考点精讲精练）

知识讲解

函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数

减函数

定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数

当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

(3)函数的最值

前提

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；

(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论

M为最大值

M为最小值

单调性的常见运算

单调性的运算

①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗

②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘

③为↗，则为↘，为↘

④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗

⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘

⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）

复合函数的单调性

奇偶性

①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）

②奇偶性的定义：

奇函数：，图象关于原点对称

偶函数：，图象关于轴对称

③奇偶性的运算

周期性（差为常数有周期）

①若，则的周期为：

②若，则的周期为：

③若，则的周期为：（周期扩倍问题）

④若，则的周期为：（周期扩倍问题）

对称性（和为常数有对称轴）

轴对称

①若，则的对称轴为

②若，则的对称轴为

点对称

①若，则的对称中心为

②若，则的对称中心为

周期性对称性综合问题

①若，，其中，则的周期为：

②若，，其中，则的周期为：

③若，，其中，则的周期为：

奇偶性对称性综合问题

①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：

②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：

考点一、根据函数的单调性求参数值

1．（2023年新高考全国Ⅰ卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，

则有函数在区间上单调递减，因此，解得，

所以的取值范围是.

故选：D

2．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上单调递减，则a的取值范围是______．

【答案】

【分析】按值对函数进行分类讨论，再结合函数的性质求解作答.

【详解】由于函数在区间上单调递减，

①当时，函数，在区间上单调递减，符合题意；

②当时，开口向下，对称轴为，则，可得函数在区间上单调递减，符合题意；

③当时，开口向上，对称轴为，在区间上单调递减需满足，因此．

综上所述，a的取值范围是．

故答案为：

1．（2023·全国·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是________．

【答案】.

【分析】先求得的单调递增区间为，根据题意得到，即可求解.

【详解】由函数，可得函数的单调递增区间为，

因为在上单调递增，可得，解得，

所以实数的取值范围为.

故答案为：.

2．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为________．

【答案】

【分析】化简，根据题意得到，即可求解.

【详解】由函数，

因为在上单调递增，则满足，解得，

所以实数的取值范围为.

故答案为：.

3．（2023·全国·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是________．

【答案】

【分析】先利用反比例函数的单调性得到在与上单调递减，再利用参数分离法得到，从而得到关于的不等式组，解之即可.

【详解】因为在与上单调递减，

而在上单调递增，

所以，解得或，

所以的取值范围是.

故答案为：

考点二、根据函数解析式判断函数单调性

1．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.

【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，

所以在上单调递减，故A错误；

对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，

所以在上单调递减，故B错误；

对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，

所以在上单调递增，故C正确；

对于D，因为，，

显然在上不单调，D错误.

故选：C.

2．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据