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单元教学设计《导数及其应用》

课题名称：《导数及其应用》单元教学设计

设计者姓名：XXX

设计者单位：XXX

联系（未提供）

一、教学要素分析

1、数学分析

1）该单元在整个高中数学中的地位和作用

导数是大学数学微积分的核心概念之一，也是中学数学中

特别重要的内容。它在中学数学与高等数学之间起着承前启后

的衔接作用。导数以不同的形式渗透到高中数学的许多方面，

与高中数学的许多内容都有密切的联系。导数可用于研究函数

性质、探求函数的极值最值、求曲线的斜率、证明不等式等，

为解决中学数学问题提供了新的视野。在中学数学中的应用涉

及到函数、三角、数列、不等式、向量、解析几何、立体几何

等方面。应用导数可以十分方便地处理中学数学问题。同时，

导数也是解决一些物理、化学问题等其他实际问题的有力工具。

2）导数在实际生活中的应用

导数在物理、化学、生物、天文、地理、经济等领域都有

着十分广泛和主要的应用。为了突出导数概念的实际背景，教

材选用了两个物理问题作为典型实例，从平均变化率到瞬时变

化率的过程，引出导数概念，揭示导数的本质——导数就是瞬

时变化率。现实生活中经常遇到求利润最大、用料最省和效率

最高等优化问题，这些问题常转化为数学中求函数的最值问题，

而导数是求函数最值的强有力工具，因此我们利用导数解决生

活中的优化问题就自然而然地用到导数了。研究了导数及其应

用以后，学生可以很容易地根据做变速直线运动物体的运动方

程：s=s(t)，算出物体的瞬时速度、瞬时加速度；对非稳恒电

流，就可以算出其瞬时电流强度；化学中的反应速度、冷却速

度等也可以通过微积分的方法来解决。

3）该单元蕴含的基本数学思想和方法，以及数学文化价

值

在知识传授上，采用从特殊到一般，从猜想到探究，由感

性上升到理性的思路，让学生充分感受数学知识产生过程，学

会进行数学推理和探究方法。同时，借助函数图象的直观性，

即函数的平均变化率就是曲线割线所在直线的斜率，再利用无

限逼近的数学思想得到曲线的切线和导数的关系——导数的几

何意义，充分体现了数形结合思想和“无限逼近”的极限思想。

现实生活中的优化问题都转化为数学中求函数的最值问题，进

一步体现了等价转化思想。

微积分的创立是数学发展中的重要里程碑，它为研究变量

与函数提供了重要的方法和手段，开创了向近代数学过渡的新

时期。教材在多处介绍了微积分的发展史，例如，在引言中介

绍了与微积分紧密相关的“四大问题”，阐述了微积分在人类科

学发展史上的地位，对微积分的意义和作用也作了介绍。通过

拓展性栏目，给学生介绍牛顿法，展示导数在科学研究中的作

用；通过实作业，让学生收集微积分创立和发展的有关材料，

让学生体会微积分在数学和科学思想史上的价值，关注微积分

的文化价值，领略数学文化，从而进一步树立辩证唯物主义和

历史唯物主义世界观。

普通高中数学课程标准（实验）》将《导数及其应用》这

部分内容安排在选修1－1的第三章和选修2－2的第一章。虽

然是选修内容，但它仍然是高中数学中相当重要的一块内容。

在选修2－2中还增加了定积分与微积分基本定理的内容，对

运算的要求也略有提高，主要原因是文科要求较低，理科对数

学的要求更高。

教材注重导数概念和几何意义的教学，让学生从平均变化

率开始，通过瞬时变化率引入导数的概念，强化了对导数本质

的认识，同时增强学生对导数几何意义的认识和理解。运算方

面要求略有降低，主要包括利用导数定义求常见的6个函数的

导数、研究函数的单调性、求不超过三次的多项式函数的单调

区间和极值等。教材强化了应用图像研究函数的方法，通过图

象理解导数概念，强化了函数图象的作用，以图像为主体设计

了“思考”、“探究”、“观察”、例题和练，让学生体验到导数研

究函数的优越性。同时，教材突出了导数的实际应用，让学生

了解导数在物理、经济等领域中的应用，增强学生对微积分的

实用性认识。

导数是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最

一般、最有效的工具。在《标准》中，对导数的运用有较高的

要求。从导数概念的引入，到导数的应用举例都用到了大量的

实例。这些实例让学生理解从“平均变化到瞬时变化”、从“有

限到无限”的思想，认识和理解这种特殊的极限，提高学生的

思维能力。利用导数可以解决很多实际问题，例如利润最大、

用料最省