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专题39几何最值之阿氏圆问题
方法技巧
问题分析:“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”,如下图,已知A、B两点,点P满足PA:PB=k(k≠1),
则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆.这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿
氏圆”。
P
ABO
模型展示:如下图,已知A、B两点,点P满足PA:PB=k(k≠1),则满足条件的所有的点P构成的图形
为圆.
P
ABO
ABDB
(1)角平分线定理:如图,在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,则=.
ACDC
A
E
F
BC
D
SBDSAB´DEABABDB
证明:VABD=,VABD==,即=
SCDSAC´DFACACDC
VACDVACD
(2)外角平分线定理:如图,在△ABC中,外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,则
ABDB
=.
ACDC
E
A
BD
C
证明:在BA延长线上取点E使得AE=AC,连接BD,则△ACD≌△AED(SAS),CD=ED且AD
DBABABDB
平分∠BDE,则=,即=.
DEAEACDC
接下来开始证明步骤:
P
AMBON
MAPA
如图,PA:PB=k,作∠APB的角平分线交AB于M点,根据角平分线定理,==k,
MBPB
故M点为定点,即∠APB的角平分线交AB于定点;作∠APB外角平分线交直线AB于N点,根
NAPA
据外角平分线定理,==k,故N点为定点,即∠APB外角平分线交直线AB于定点;又
NBPB
∠MPN=90°,定边对定角,故P点轨迹是以MN为直径的圆.
P
AMBON
模型最值技巧:
计算PAkPB的最小值时,利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题:在圆上找一点P使得PAkPB的值最小,解决步骤具体如下:
①如图,将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP,OB
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