（浙江版）高考数学复习： 专题7.4 基本不等式及应用（组）与简单的线性规划问题（讲）.docVIP

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第04节基本不等式及其应用

【考纲解读】

考点

考纲内容

五年统计

分析预测

基本不等式

掌握基本不等式(a，b＞0)及其应用

2015浙江文12,20；理10.

利用基本不等式求函数的最值

备考重点：

1.基本不等式等号成立的条件；

2.基本不等式应用问题.

【知识清单】

基本不等式

如果，那么（当且仅当时取等号“=”）

推论：（）

如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.

推论：（，）；

3、

对点练习

【2018重庆铜梁县联考】函数y=loga（x+2）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，则1m+2n

A.3+2B.3+2C.7D.11

【答案】A

【考点深度剖析】

基本不等式是不等式中的重要内容，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中往往是大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用．

【重点难点突破】

考点1利用基本不等式证明不等式

【1-1】不已知、、都是正数，求证：

【解析】∵、、都是正数

∴（当且仅当时，取等号）

（当且仅当时，取等号）

（当且仅当时，取等号）

∴（当且仅当时，取等号）

即.

【1-2】已知a0，b0，a＋b＝1，求证：.

【解析】∵，，，

∴.同理，.∴

＝，当且仅当，即时取“＝”．

∴，当且仅当时等号成立．

【领悟技法】

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．

【触类旁通】

【变式一】求证:

考点2利用基本不等式求最值

【2-1】【2017天津，理12】若，，则的最小值为___________.

【答案】

【解析】，（前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）.

【2-2】【2018河北大名第一中学模拟】已知关于x的不等式x2-4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），则的最大值是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】：不等式x2-4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2

根据韦达定理，可得：，x1+x2=4a，

那么：=4a+．

∵a＜0，

∴-（4a+）≥2=，即4a+≤-

故的最大值为．

故选：D．

【2-3】【2018安徽安庆模拟】若方程有两个不等的实根和，则的取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】C

【领悟技法】

基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．

注意：形如y＝x＋eq\f(a,x)(a0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．

【触类旁通】

【变式一】【2017届浙江杭州高三二模】设函数的两个零点为，，若，则（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】，所以，则，故选择B.

【变式二】【2018河南师范大学附属中模拟】对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若正数且，则的上确界为（）

A.B.C.D.-4

【答案】A

考点3基本不等式的实际应用

【3-1】【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是.

【答案】30

【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.

【3-2】如图，有一块等腰直角三角形的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形的绿地，已知,，绿地面积最大值为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】设，，由条件可知和为等直角三角形，所以，．＝≥＝，即≤4，所以，所以绿地面积最大值为4，故选C．

【3-3】(eq\a\vs4\al(2015·大理模拟))某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD＝60m，AB＝40m，且△EFG中，∠EGF＝90°，经测量得到AE＝10m，EF＝20m，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个