高中数学学案 直线的点斜式方程.docVIP

PAGE

3.2直线的方程

3.2.1直线的点斜式方程

学习目标

核心素养

1.了解直线方程的点斜式的推导过程．(难点)

2．掌握直线方程的点斜式并会应用．(重点)

3．掌握直线方程的斜截式,了解截距的概念．(重点、易错点)

通过对直线的点斜式方程的学习,培养逻辑推理、数学运算的数学素养.

1．直线的点斜式方程和斜截式方程

点斜式

斜截式

已知条件

点P(x0,y0)和斜率k

斜率k和直线在y轴上的截距b

图示

方程形式

y－y0＝k(x－x0)

y＝kx＋b

适用条件

斜率存在

思考：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？

[提示]不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程,凡是垂直于x轴的直线,其方程都不能用点斜式表示．

2．直线在y轴上的截距

定义：直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b．

符号：可正,可负,也可为零．

1．直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1),则直线l的斜率是()

A．2B．－1C．3D．－3

C[由直线的点斜式方程可知直线l的斜率是3.]

2．过点P(－2,0),斜率为3的直线的方程是()

A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2

C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)

D[由直线的点斜式方程可知,该直线方程为y－0＝3(x＋2),即y＝3(x＋2),选D.]

3．倾斜角为135°,在y轴上的截距为－1的直线方程是()

A．y＝x＋1 B．y＝x－1

C．y＝－x＋1 D．y＝－x－1

D[由题意知,直线的斜率k＝－1,又在y轴上截距为－1,故直线方程为y＝－x－1,选D.]

直线的点斜式方程

【例1】(1)一条直线经过点(2,5),倾斜角为45°,则这条直线的点斜式方程为________．

(2)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．

(3)求经过点(2,－3),倾斜角是直线y＝eq\f(1,\r(3))x倾斜角的2倍的直线的点斜式方程．

(1)y－5＝x－2(2)x＝－5[(1)因为倾斜角为45°,

所以斜率k＝tan45°＝1,

所以直线的点斜式方程为y－5＝x－2.

(2)因为直线平行于y轴,所以直线不存在斜率,所以方程为x＝－5.]

(3)解：因为直线y＝eq\f(1,\r(3))x的斜率为eq\f(1,\r(3)),

所以倾斜角为30°.

所以所求直线的倾斜角为60°,其斜率为eq\r(3).

所以所求直线方程为y＋3＝eq\r(3)(x－2)．

求直线的点斜式方程的步骤

提醒：斜率不存在时,过点P(x0,y0)的直线与x轴垂直,直线上所有点的横坐标相等,都为x0,故直线方程为x＝x0.

1．已知点A(3,3)和直线l：y＝eq\f(3,4)x－eq\f(5,2).求：

(1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程；

(2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程．

[解]因为直线l：y＝eq\f(3,4)x－eq\f(5,2),

所以该直线的斜率k＝eq\f(3,4).

(1)过点A(3,3)且与直线l平行的直线方程为

y－3＝eq\f(3,4)(x－3)．

(2)过点A(3,3)且与直线l垂直的直线方程为y－3＝－eq\f(4,3)(x－3)．

直线的斜截式方程

【例2】求下列直线的斜截式方程：

(1)斜率为－4,在y轴上的截距为7；

(2)在y轴上的截距为2,且与x轴平行；

(3)倾斜角为150°,与y轴的交点到原点的距离为3.

[解](1)直线的斜率为k＝－4,

在y轴上的截距b＝7,

由直线的斜截式方程知,

所求直线方程为y＝－4x＋7.

(2)直线的斜率为k＝0,

在y轴上的截距为b＝2,

由直线的斜截式方程知,所求直线方程为y＝2.

(3)直线的倾斜角为150°,所以斜率为－eq\f(\r(3),3),因为直线与y轴的交点到原点的距离为3,所以在y轴上的截距b＝3或b＝－3,故所求的直线方程为y＝－eq\f(\r(3),3)x＋3或y＝－eq\f(\r(3),3)x－3.

求直线的斜截式方程的策略

(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式,其适用前提是直线的斜率存在,只要点斜式中的点在y轴上,就可以直接用斜截式表示．

(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数,因此要确定直线方程,只需知道参数k,b的值即可．

(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活,如果已知斜率k,只需引入参数b；同理,如果已知截距b,只需引入参数k.

2．已知直线l的斜率为eq\f(1,6),且和两坐标轴围成面积为3的三角形,求l的斜截式方程．

[解]设直线方程为y＝eq\f(1,6)x＋b,则x＝0时,y＝b；y＝0时,x＝－6b.

由已知可得eq\f(1,2)