福建省莆田市2024-2025学年高二上学期期中数学检测试题（含解析）.docx

福建省莆田市2024-2025学年高二上学期期中数学检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．直线的倾斜角为（）

A． B． C． D．

2．在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（????）

A． B． C． D．

3．“”是“直线与直线平行”的（????）

A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（????）

A．3 B． C． D．

5．点P在直线上运动，，则的最大值是（????）

A． B． C．3 D．4

6．已知点F，A分别是椭圆的左焦点、右顶点，满足，则椭圆的离心率等于（????）

A． B． C． D．

7．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（）

A． B．

C． D．

8．已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．方程表示的曲线中，可以是（）

A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．直线

10．已知圆，直线.则以下命题正确的有（????）

A．直线l恒过定点 B．y轴被圆C截得的弦长为

C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为

11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（????）

??

A．

B．直线与平面所成角的正弦值为

C．点到直线的距离是

D．异面直线与所成角的余弦值为

三、填空题（本大题共3小题）

12．圆与圆相交所得公共弦长为．

13．若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点1,2，则该双曲线的标准方程为．

14．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是．

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知空间三点，设.

(1)求和的夹角的余弦值；

(2)若向量与互相垂直，求的值.

16．直线经过两直线和的交点．

(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；

(2)若直线与圆相切，求直线的方程．

17．某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C.

(1)求圆C的方程.

(2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由.

18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点.

????

(1)证明：∥平面；

(2)若，，

（i）求二面角的余弦值；

（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

19．已知椭圆C：的离心率为，焦距为2．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线l：（）与椭圆C相交于A，B两点，且．

①求证：的面积为定值；

②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．

答案

1．【正确答案】A

【详解】设直线的倾斜角为，

因为该直线的斜率为，所以，所以，

故选：A

2．【正确答案】B

【分析】根据空间向量坐标关于坐标轴、平面的对称性性质求得结果.

【详解】，点A关于y轴对称的点为，

，点B关于平面对称的点为.

则.

故选：B.

3．【正确答案】A

【详解】当时，直线与平行；

当直线与直线平行时，

有且，解得，

故“”是“直线与直线平行”的充要条件.

故选：A.

4．【正确答案】C

【详解】由圆的方程，得圆心，半径，

如图，切线长，当最小时，最小，

最小值为圆心到直线的距离，

所以切线长的最小值.

故选：C.

??

5．【正确答案】A

【详解】设关于的对称点为，

则，解得，即

故,

,

当且仅当，三点共线时，等号成立.

故选：A

6．【正确答案】B

【详解】

??，，

，即，

整理得，即，

等号两边同时除以得，即，求得，

，，

故选：B.

7．【正确答案】A

【详解】设，则，直线的斜率，

把两点代入椭圆方程得：，，

两式作差得：

，即，

又因为，