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专题18圆的切线的性质与判定（解析版）

类型一利用圆的切线的性质求角度

1．（2023•鼓楼区校级三模）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠A+∠C＝

220°，则∠P的度数100°．

【思路引领】由圆内接四边形的性质得到∠C+∠BAD＝180°，又∠C+∠PAD＝220°，得到∠PAB＝

40°，由切线长定理得到PA＝PB，因此∠PBA＝∠PAB＝40°，故∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝

100°．

【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠C+∠BAD＝180°，

∵∠C+∠PAD＝220°，

∴∠PAD﹣∠BAD＝40°，

∴∠PAB＝40°，

∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，

∴PA＝PB，

∴∠PBA＝∠PAB＝40°，

∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝100°．

故答案为：100．

【总结提升】本题考查切线长定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关

键是由圆内接四边形的性质求出∠PAB＝40°．

2．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图，已知AB与⊙O相切于点A，AC是⊙O的直径，连接BC交⊙O于

点D，E为⊙O上一点，当∠CED＝58°时，∠B的度数是（）

A．32°B．64°C．29°D．58°

【思路引领】由切线的性质及圆周角定理可得出答案．

【解答】解：连接AD，

∵AB与⊙O相切于点A，

∴CA⊥AB，

∴∠CAB＝90°，

∵∠CED＝∠CAD＝58°，

∴∠DAB＝90°﹣∠CAD＝32°，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC＝90°，

∴∠B＝90°﹣∠DAB＝58°，

故选：D．

【总结提升】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点

的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．

3．（2022秋•金华期末）AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，

∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（）

A．20°B．25°C．30°D．40°

【思路引领】连接OC．利用切线的定义得∠OCP＝90°，利用三角形内角和定理得∠COP＝50°，利

1

用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得∠=∠=25°．

2

【解答】解：如图，连接OC．

∵PC为⊙O的切线，

∴∠OCP＝90°，

∴∠COP+∠P＝90°，

∵∠P＝40°，

∴∠COP＝50°，

1

∠=∠=25°

∴，

2

故选：B．

【总结提升】本题考查圆的切线的定义、三角形内角和定理、圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定

理，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．

类型二利用圆的切线的性质求长度

4．（2023•九龙坡区模拟）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC

延长线于点P，则PA的长为3．

【思路引领】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质求出∠OAP＝90°，解直角三角形

求出AP即可．

【解答】解：连接OA，

∵∠ABC＝30°，

∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，

∵过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，

∴∠OAP＝90°，

∵OA＝OC＝1，

∴AP＝OAtan60°＝1×