《未定式的极限》课件.pptVIP

*********1.2判断未定式的方法极限存在首先判断函数在自变量趋近于某一点时，函数值是否趋近于一个确定的值。如果不存在，则不是未定式。分子分母均为零若分子分母在自变量趋近于某一点时同时趋近于零，则可能出现未定式0/0。分子分母均为无穷大若分子分母在自变量趋近于某一点时同时趋近于无穷大，则可能出现未定式∞/∞。2.未定式的处理当极限计算出现未定式时，直接代入无法得到结果。需要借助一些技巧和方法，将未定式转化为可以计算的形式。2.1等价无穷小替换法等价无穷小当x趋近于0时，两个无穷小量之比的极限为1，则称这两个无穷小量为等价无穷小。例如，sinx和x是等价无穷小，因为lim(x→0)(sinx)/x=1。替换方法在计算未定式的极限时，可以用等价无穷小替换原函数中的一些因子，简化运算。例如，当x趋近于0时，可以用x替换sinx，因为sinx和x等价。应用范围等价无穷小替换法适用于某些特定类型的未定式，如0/0型和∞/∞型。对于其他类型的未定式，需要使用其他方法。2.2洛必达法则法则概述洛必达法则可以用来计算一些特殊类型的极限，例如当函数趋近于某个值时，同时分子和分母都趋近于零或无穷大。条件要求只有在满足特定条件的情况下，才能使用洛必达法则。例如，分子和分母必须是可微函数，且它们在极限点处的导数存在且不为零。应用范围洛必达法则在微积分学中应用广泛，可以帮助解决许多复杂的极限问题，尤其适用于计算0/0型和∞/∞型的未定式极限。2.2.1洛必达法则的证明1函数可微首先，我们要假设两个函数f(x)和g(x)在点x0处可微，且g(x0)不等于0。2极限存在接着，我们要证明当x趋近于x0时，f(x)/g(x)的极限存在，并且等于f(x0)/g(x0)。3证明过程为了证明这个结论，我们可以使用微积分中的基本定理，以及极限的性质来进行推导。2.2.2洛必达法则的应用1求导化简将分子分母分别求导2判断适用性满足条件才能使用洛必达法则3极限计算重新计算极限值4结果分析分析结果，得出结论洛必达法则是一种常用的求极限方法，它可以将复杂的极限问题转化为简单的导数问题。通过将分子分母分别求导，然后重新计算极限值，可以更方便地求出极限。常见未定式类型及解决方法未定式极限的计算方法取决于未定式的类型，不同的类型需要不同的处理方法。通过掌握各种类型未定式的解决方法，可以有效解决各种极限问题。3.10/0型0/0型未定式当函数的分子和分母同时趋近于0时，极限结果无法直接确定。无穷小量当自变量趋近于某一点时，函数的值也趋近于零，则该函数为该点的无穷小量。等价无穷小当自变量趋近于某一点时，两个无穷小量之比的极限为1，则这两个无穷小量称为等价无穷小量。3.2∞/∞型定义当函数的极限趋于无穷时，分子和分母同时趋于无穷，这种情况称为∞/∞型未定式。举例例如：lim(x→∞)(x^2+1)/(x-1)，当x趋于无穷时，分子和分母都趋于无穷大，因此它是一个∞/∞型未定式。3.30*∞型无穷小与无穷大当一个函数趋向于0，另一个函数趋向于无穷大时，它们的乘积可能存在极限。极限的定义0*∞型未定式是指当x趋向于某个值时，一个函数趋向于0，另一个函数趋向于无穷大，它们的乘积的极限无法直接求得。转化方法为了求解0*∞型未定式，需要将原函数转化为其他类型未定式，例如，利用等价无穷小替换或变量代换。3.4∞-∞型11.分式变形将两个无穷大项转化为一个分式，使之变成∞/∞型。22.等价无穷小替换利用等价无穷小替换法，将无穷大项替换为其等价无穷小，再进行化简。33.利用极限的性质通过极限的运算性质，对无穷大项进行分解、合并或约分，使其不再是∞-∞型。44.利用导数对于某些复杂的∞-∞型，可利用导数求极限。3.50^0型定义当x趋近于某个值时，函数f(x)和g(x)同时趋近于0，且函数f(x)的幂次g(x)也趋近于0，此时极限形式为0^0。特点0^0型的未定式通常需要通过对函数进行变换或利用等价无穷小替换来化简，从而求出极限值。处理方法常用的方法包括利用对数函数、泰勒展开式等方法，将0^0型未定式转化为其他类型的未定式，再利用相关方法求解。3.6∞^0型当函数趋于无穷大时，底数为无穷大，而指数为零，此时极限结果无法直接确定。可以使用对数变换将指数项转化为乘积形式，以便进一步计算。利用极限的性质和运算规则，可通过求解等价无穷小或洛必达法则来确定极限值。4.未定式的