专题43 勾股定理-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.pdf

专题43勾股定理

一、勾股定理解决几何最值问题

【典例】图①所示的正方体木块棱长为8cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图

②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为cm．

【解答】解：如图所示：

△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，

在Rt△BCD中，CD=2+2=82cm，

1

则BE=CD＝42cm，

2

在Rt△ACE中，AE=2―2=46cm，

答：从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（42+46）cm．

故答案为：（42+46）．

【巩固】如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此

时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距

离为（）

A．18cmB．15cmC．20cmD．25cm

【解答】解：如图：

将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，

连接A′B，则A′B即为最短距离，

A′B=′2+2=122+162=20（cm）．

故蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为20cm．

故选：C．

二、勾股定理逆定理

【典例】图1，图2均为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下

面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．

（1）画一个边长均为整数的等腰三角形，且面积等于12；

（2）画一个直角三角形，且三边长为5，25，5，并直接写出这个三角形的面积．

【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求；

（2）如图所示，△DEF即为所求；

1

S△DEF=×5×25=5．

2

【巩固】如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD=2，CD=10．求：

（1）∠DAB的度数．

（2）连接BD，求BD的长．

【解答】解：（1）连接AC，

∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，

∴∠BAC＝∠BCA＝45°，AC＝22，

∵AD=2，CD=10，

222222

∴AD+AC＝（2）+（22）＝2+8＝10＝（10）＝CD，

∴△DAC是直角三角形，∠DAC＝90°，

∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°+45°＝135°，

即∠DAB的度数是135°；

（2）作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，

∵∠DAB＝135°，

∴∠DAE＝45°，

∵DE⊥AE，AD=2，

∴DE＝AE＝1，

∵AB＝2，

∴BE＝3，

∴BD=2+2=32+12=10，

即BD的长是10．

三、勾股数

22

【典例】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m﹣1，c＝m+1，那么a、

b、c为勾股数．你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一些勾股数．

【解答】解：正确．理由：

∵m表示大于1的整数，

∴a，b，c都是正整数，且c是最大边，

22222

∵（2m）+（m﹣1）＝（m+1），

222

∴a+b＝c，

即a、b、c为勾股数．

当m＝2时，可得一组勾股数3，4，5．

【巩固】

张老师在一次“探究性学习”课中，设计了