专题51 全国初中数学竞赛模拟卷（一）-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.pdf

专题51全国初中数学竞赛模拟卷（一）

1．设a＞0，b＞0，且a(+)=3(+5)，则的值是（）

23

1131

A．2B．C．D．

4258

【解答】解：由题意得：a+=3ab+15b，

∴（a―5b）（a+3b）＝0，

故可得：a=5b，a＝25b，

1

∴=．

232

故选：C．

2．如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，DE交AC于M，AF交BD于点N，若AF平

分∠BAC，DE⊥AF，记x=，y=，z=，则有（）

A．x＞y＞zB．x＝y＝zC．x＝y＞zD．x＞y＝z

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，

∴∠BAF+∠AFB＝90°，

∵DE⊥AF，

∴∠BAF+∠DEA＝90°，

∴∠AFB＝∠DEA，

在△AFB和△DEA，

∠ABF=∠DAE

∠=∠，

=

∴△AFB≌△DEA（AAS），

∴∠BAF＝∠ADE，BF＝AE，

∵AF平分∠BAC，

∴∠BAF＝∠CAF＝22.5°，

∴∠ADE＝∠BDE＝22.5°，

∵∠ABF＝∠AON＝90°，∠BAF＝∠NAO，

∴△ABF∽△AON，

∵∠BAN＝∠CAF，∠ABN＝∠ACF＝45°，

∴△BAN∽△CAF，

∴y=

=

=

=

2，

z=

=

=

2，

∴y＝z，

∵BF＝AE，AB＝BC，

∴BE＝CF，

∴==2，

∵∠ADE＝22.5°，∠EAD＝90°，

∴∠AEM＝67.5°，∠AME＝∠ADE+∠MAD＝67.5°，

∴∠AEM＝∠AME，

∴AE＝AM，

过点M作MH⊥AD于点H，如图：

∵∠ADE＝22.5°，∠EDB＝45°，

∴∠MDO＝∠MDH＝22.5°，

∵MH⊥AD，MO⊥AC，

∴OM＝HM，

∵∠MAH＝45°，∠MHA＝90°，

∴AM=2HM=2OM，

∴AE=2OM，

∴BE=2AE＝2OM，

∴x==2，

∴x＞y＝z