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球的切接问题知识清单-2025届高三数学一轮复习.docx

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外接球

长方体模型

(一)长方体(正方体)的外接球

1.长方体的体对角线交点到各个顶点的距离相等,即为球心。

a,b,c分别为长方体的长、宽、高,则外接球直径

2.棱长为正方体的外接球径.

(二)补体后为长方体

1.底面为直角三角形的直棱柱

2.墙角模型(一条侧棱与底面垂直,底面为直角三角形)

3.对棱相等模型(每条侧棱和它底面所对的边长相等)

补体后

三式相加得

根据长方体的外接球得直径

【推广】正四面体是特殊的对棱相等模型,可补体为正方体

补体后

解题策略:已知正四面体的边长为,设正方体的棱长为,由得

正方体的棱长为,再利用公式得出外接球半径。

二、棱柱(圆柱)模型

1.圆柱模型

h是圆柱的高,r是圆柱底面圆的半径,则圆柱外接球的半径

2.正棱柱模型

正棱柱外接球的半径

3.直棱柱模型

第一步:找到上下底面外接圆的圆心,并连接做出高

第二步:求出底面外接圆半径(由正弦定理)

第三步:确定球心的位置,球心在高线上,满足

第四步:构造,得球半径

棱锥(圆锥)模型

1.圆锥模型

(1)球心在高上

h是圆锥的高,r是圆锥底面圆的半径,圆锥外接球的半径满足

(2)球心在高的延长线上

h是圆锥的高,r是圆锥底面圆的半径,圆锥外接球的半径满足

2.正棱锥模型

球心的位置跟圆锥类似也有两种(下面的是球心在高上)

h是棱锥的高,r是棱锥底面外接圆的半径,棱锥外接球的半径满足

3.侧棱相等模型

如果棱锥的侧棱相等,则顶点在底面的射影为底面多边形的外心,侧棱与底面所成角均相等。

第一步:找到底面外接圆的圆心,并连接做出高

第二步:求出底面外接圆半径(由正弦定理)

第三步:确定球心的位置,球心在高线上,

第四步:构造,列式

棱台(圆台)模型

1.圆台

(1)球心在高上

h是圆台的高,分别是圆台上下底面圆的半径,圆台外接球的半径满足

(2)球心在高的延长线上

外接球的半径满足

2.棱台(类比圆台球心有两类)

垂面模型(适用于有一条棱垂直于底面的棱锥)

第一步:将画在小圆面上,为小圆直径的一个端点,作小圆的直径,连接,则必过球心.

第二步:为的外心,所以平面,算出小圆的半径

(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理.

第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:

(1);

(2).

公式:

六、二面角模型(适用范围:所有二面角构成的棱锥,普通三棱锥)

设与的外心分别为,到交线的距离分别为,两平面的二面角为,两平面面交线长度

则半径满足公式:

特别的:有两个平面互相垂直的棱锥,

截面法求外接球问题

定圆心:找到截面圆的圆心;

作垂线:过截面圆的圆心作截面圆的垂线;

定球心:球心为两条垂线的交点(球心与球面上任意一点的连线为半径);

构造直角三角形求半径;

内切球

一、正方体的内切球

半径

锥体的内切球

等体积法

棱切球

正方体的棱切球正四面体的棱切球为正方体的内切球

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