新高考数学一轮复习精品讲练测第3章第05讲 利用导数研究恒成立问题（学生版）.docVIP

第05讲利用导数研究恒成立问题

（核心考点精讲精练）

知识讲解

恒成立问题常见类型

假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式，

（1）的值域为

①，则只需要

，则只需要

②，则只需要

，则只需要

（2）若的值域为

①，则只需要

，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）

②，则只需要

，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）

恒成立问题的解决策略

=1\*GB3①构造函数，分类讨论；

②部分分离，化为切线；

③完全分离，函数最值；

=4\*GB3④换元分离，简化运算；

在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.

一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点．

考点一、利用导数解决函数恒成立问题

1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数

(1)当时，讨论的单调性；

(2)若恒成立，求a的取值范围．

2．（2020·海南·高考真题）已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．

3．（2020·全国·统考高考真题）已知函数.

（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；

（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.

1．（2023·河北·模拟预测）已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若存在实数，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

2．（2023·江苏盐城·统考三模）已知函数.

(1)当时，求的单调递增区间；

(2)若恒成立，求的取值范围.

3．（2023·浙江杭州·统考二模）已知函数．

(1)讨论函数零点个数；

(2)若恒成立，求a的取值范围．

4．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）设函数，且．

(1)求函数的单调性；

(2)若恒成立，求实数a的取值范围．

5．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数，其中．

(1)讨论方程实数解的个数；

(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．

【基础过关】

1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，．

(1)当时，求在处的切线方程；

(2)若时，恒成立，求的取值范围．

2．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知函数.

（1）求函数的单调增区间；

（2）函数，当时，恒成立，求整数的最小值.

3．（2023·安徽滁州·校考一模）已知函数．

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)当时，若关于x的不等式恒成立，试求a的取值范围．

4．（2023·辽宁鞍山·校联考一模）已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)若对任意的，都有成立，求a的取值范围．

5．（2023·广东惠州·统考一模）已知函数．

(1)当时，求在处的切线方程；

(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．

6．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知函数，．

(1)当，求的单调递减区间；

(2)若在恒成立，求实数a的取值范围．

7．（2023·浙江宁波·统考一模）已知函数，．

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．

8．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知函数，．

(1)求函数的极值点；

(2)若恒成立，求实数的取值范围．

9．（2023·河北·校联考一模）已知函数．

(1)当时，求的单调区间；

(2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

10．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知函数

(1)当时，求函数的极值；

(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．

【能力提升】

1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知函数．

(1)求的零点个数；

(2)当时，恒成立，求的取值范围．

2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）已知函数.

(1)当时，求函数的极值；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

3．（2023·海南·校考模拟预测）已知，函数.

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

4．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数，其中．

(1)讨论方程实数解的个数；

(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．

5．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知函数，.

(1)当时，证明：在上恒成立；

(2)判断函数的零点个数.

6．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数．

(1)当时，讨论在区间上的单调性；

(2)若，求的值．