专题38 中考最值难点突破胡不归问题（解析版）.pdf

专题38中考最值难点突破胡不归问题（解析版）

模块一典例剖析+针对训练

类型一有辅助角(隐含辅助角)

典例1点P在直线上运动“胡不归“问题

【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶

路．由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所心以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B

（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽

了气，小伙子失声痛哭．邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？何以

归”．这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路

线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”．

思路引领：先沿着驿道AC先走一段，速度为V，再走沙砾地带，速度为V，可以提前到家

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解：先沿着驿道AC先走一段，速度为V，再走沙砾地带，速度为V，可以提前到家．如图，

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运动时间t=+=（•AD+BD），

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在直线AC的下方作射线AE，使得sin∠CAE=，

1

过点D作DG⊥AE于点G，过点B作BH⊥AE于点H，交AC于点F．

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在Rt△ADG中，DG＝AD•sin∠DAG=•AD，

1

1

∴运动时间t=（BD+DG），

2

∵BD+DG≥BH，

∴先沿着驿道AC先走一段AF，速度为V，再走沙砾地带FB，速度为V，可以使得时间最小．

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总结提升：本题考查胡不归问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，把问题掌握垂线段最短解

决．

针对训练

1．（2022春•江汉区月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝30°．BD是△ABC的边AC上的高，点

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P是BD上动点，则+的最小值是5．

2

思路引领：过点P作PE⊥AB于点E，先在Rt△ABD中求出∠ABD及BD，再在Rt△BPE中利用sin60°

3

得到+=EP+CP，当当C、P、E三点在同一直线上，且CE⊥AB时其取得最小值，最小值为

2

CE，计算即可求出结果．

解：过点P作PE⊥AB于点E，

1

在Rt△ABD中，∠ABD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，BD==5，

2

3

在Rt△BPE中，sin60°==，

2

3

∴EP=BP，

2

3

∴+