（浙江版）高考数学复习： 专题5.3 平面向量的数量积及其应用（讲）.docVIP

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第03节平面向量的数量积及其应用

【考纲解读】

考点

考纲内容

5年统计

分析预测

平面向量的数量积

①理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系。

②掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系。

③会用坐标表示平面向量的平行与垂直。

2013?浙江文17；理7，17；

2014?浙江文9；理8；

2015?浙江文13；理15；

2016·浙江文理15；

2017?浙江10,15.

1.以考查向量的数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；

2.与三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查.

3.备考重点：

(1)理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；

(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.

【知识清单】

1．平面向量的数量积及其运算

一、两个向量的夹角

1．定义

已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．

2．范围

向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.

3．向量垂直

如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.

二、平面向量数量积

1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．

规定0·a＝0.

当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.

2．a·b的几何意义：

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．

三、向量数量积的性质

1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.

2．a⊥ba·b＝0.

3．a·a＝|a|2，.

4．cosθ＝.(θ为a与b的夹角)

5．|a·b|≤|a||b|.

四、数量积的运算律

1．交换律：a·b＝b·a.

2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．

五、数量积的坐标运算

设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：

1．a·b＝a1b1＋a2b2.

2．a⊥ba1b1＋a2b2＝0.

3．|a|＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)).

4．cosθ＝＝.(θ为a与b的夹角)

对点练习：

【2017北京，理6】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若，使，即两向量反向，夹角是，那么T，若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分不必要条件，故选A.

2．向量的夹角与向量的模

1.a·a＝|a|2，.

2．cosθ＝.(θ为a与b的夹角)

3.|a·b|≤|a||b|.

对点练习：

【2017浙江高三模拟】设，，是非零向量.若，则（）

A.B.C.D.

【答案】D.

3．平面向量垂直的条件

a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＝0.

对点练习：

【2017浙江嘉兴、杭州、宁波效实五校联考】在中，，，则的最小值为______，又若，则________.

【答案】

【解析】，所以当时，取最小值；因为，所以，由.

【考点深度剖析】

平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．

【重点难点突破】

考点1平面向量数量积的运算

【1-1】已知向量，，则（）

A．2B．-2C．-3D．4

【答案】A

【解析】

【1-2】已知向量与的夹角为60°，，，则在方向上的投影为（）

A．B．2C．D．3

【答案】A

【解析】

因向量，的夹角为，，，，则在方向上的投影为,故应选A.

【1-3】【2017天津，理13】在中，，，.若，，且，则的值为___________.

【答案】

【领悟技法】

1.平面向量数量积的计算方法

①已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|cosθ求解；

②已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．

(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运