《结构动力学》第10章多自由度运动方程.pptx

结构动力学

;第10章多自由度运动方程

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Chapter10FormulationoftheMDOFEquationsofMotion;本章提要;§10-1多自由度体系运动方程

什么是多自由度体系？

工程中所涉及的结构一般都是多自由度的，例如多层建筑结构、大跨桥梁结构、空间网架结构等等。

为合理反映振动过程中惯性力的影响，需要采用更多的自由度描述结构体系的质量分布并确定体系的变形。;

单自由度体系：

多自由度体系：

;预备知识;§10-2多自由度体系的自由振动

多自由度体系无阻尼自由振动的方程为：

其中：[M]、[K]为N×N阶的质量和刚度矩阵

{u}和{ü}是N阶位移和加速度向量

{0}是N阶零向量

;设多自由度体系在进行自由振动时也是在作简谐振动，多自由度体系的振动形式可写为：

{φ}—表示体系位移形状向量，它仅与坐标位置有关，不随时间变化，称为振型。

ω—简谐振动的频率，

θ—相位角。

上式对时间求两次导数可得：

;将位移向量{u}和加速度向量{ü}代入无阻尼自由振动方程：

因为sin(ωt+θ)为任意的，可以消去，因此，

上式是关于{φ}的N阶齐次线性方程组，表征了振型和自振频率的关系，称为运动方程广义特征值问题。

由广义特征值可解得ω和{φ}。;

方程存在非零解的充分必要条件是系数行列式等于零：

是一关于ω的多项式，称为频率方程。

将刚度阵和质量阵代入得频率方程的具体形式：

;对于N个自由度的稳定结构体系，频率方程是关于ω2的N次方程，

由此可以解得N个正实根（ω12ω22ω32…ωN2）。

ωn(n=1,2,…,N)即为体系的自振频率。其中量值最小的频率ω1叫基本频率(相应的周期T1=2π/ω1叫基本周期)。

从以上分析可知，多自由度体系只能按一些特定的频率即按自振频率做自由振动。按某一自振频率振动时，结构将保持一固定的形状，称为自振振型，或简称振型。;把相应的自振频率ωn代入运动方程的特征方程得到振型

{φ}n={φ1n,φ2n,…,φNn}T—体系的第n阶振型。

由于特征方程的齐次性(线性方程组是线性相关的)，振型向量是不定的，只有人为给定向量中的某一值???例如令φ1n=1，才能确定其余的值。

实际求解时就是令振型向量中的某一分量取定值后才能求解。虽然令不同的分量等于不同的量，得到的振型在量值上会不一样，但其比例关系是不变的。

所谓振型就是结构不同点(自由度)变化时的比例关系。;以上分析方法就是代数方程中的特征值分析，自振频率相应于特征值，而振型即是特征向量。

得到体系的N个自振频率和振型后，可以把振型和自振频率分别写成矩阵的形式，

其中，ωn—第n阶自振频率，{φ}n—第n阶振型。

[Φ]和[Ω]也分别称为振型矩阵和谱矩阵。;5DOFwithuniformmass

andstiffness;15;5DOFwithuniformmassandstiffness;算例10-1如图(a)所示三层框架结构，各楼层的质量和层间刚度示于图中，确定结构的自振频率和振型。

(统一单位制：质量：吨，力：千牛，长度：米）

结构模型及各刚度元素：;算例10-1

结构的质量阵、刚度阵：

;算例10-1

运动方程的广义特征值问题：

频率方程：;算例10-1

由频率方程

得到三个根：

利用关系式

可得结构的三个自振频率：;算例10-1

求振型：

设φ3n=1，则

则振型方程为：;算例10-1

振型方程：

以上三个代数方程中仅有两个是独立的，可以采用任意两个方程求得φ1n和φ2n，通过观察发现，用第一个方程和第三个方程求解将避免求联立方程组。

由第一个方程：

由第三个方程：

一阶振型：将B1=0.3515(ω1=14.522rad/s)代入上式得;算例10-1

二阶振型：B2=1.6066(ω2=31.048rad/s)

三阶振型：B3=3.5420(ω3=46.10rad/s);算例10-1

;算例10-1

从以上给出的振型图看，对层间模型，振型特点为：一阶振型不变符号，二阶振型变一次符号，三阶振型变二次符号。

以上给出的振型的求解公式是解耦的，不用求联立方程组，这只有当结构是层间模型时，即特征方程的系数矩阵是三对角阵时才可以实现，一般情况下，当特征方程的系数矩阵不为三对角阵时，必须解联立方程组才可获得结构的振型。;算例10-2

确定由两个梁单元构成的结构的自振频率和自振周