2024-2025学年福建省莆田市高二上学期期中数学检测试题（含解析）.docx

2024-2025学年福建省莆田市高二上学期期中数学检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．椭圆的焦距是（????）

A． B． C．2 D．4

2．直线关于y轴对称的直线的方程为（）

A． B． C． D．

3．已知直线经过两点，则直线的一个方向向量是（????）

A． B． C． D．

4．已知直线y=2x是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（????）

A． B． C． D．或

5．已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（????）

A． B．

C． D．

6．在两条异面直线，上分别取点，和点，，使，且.已知，，，，则两条异面直线，所成的角为（????）

A． B． C． D．

7．在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点.若，则点的横坐标为（????）

A． B． C． D．

8．已知椭圆：（）的左焦点为，过焦点作圆的一条切线交椭圆的一个交点为A，切点为，且（为坐标原点），则椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有（????）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

10．已知椭圆的左右焦点分别为，，直线交椭圆于，两点，则（????）

A．的周长为4

B．当时，的面积为

C．若直线经过点，则的最小值是3

D．若线段中点为，则直线的方程为

11．如图，在棱长为的正方体中，点在侧面内运动（包括边界），为棱中点，则下列说法正确的有（????）

A．存在点满足平面∥平面

B．存在点满足平面

C．当为线段中点时，三棱锥的外接球体积为

D．若，则点的轨迹长为

三、填空题（本大题共3小题）

12．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是.

13．已知，，，则点到直线的距离为.

14．在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”.则坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是；圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是.

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知为实数，设直线，.

(1)若，求的值及与的交点坐标；

(2)若，求与的距离.

16．已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上.

(1)求圆的方程；

(2)证明圆与圆相交于两点，并求线段的长度.

17．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；

(2)设、为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，若的面积是，求直线的方程.

18．在三棱锥中，.

(1)证明：平面平面；

(2)点为棱上，若与平面所成角的正弦值为，求的长；

19．已知圆：与x正半轴交于点A，与直线在第一象限的交点为B．点为圆O上任一点，且满足，以x，y为坐标的动点的轨迹记为曲线．

(1)求曲线的方程；

(2)若两条直线：和：分别交曲线于点E、F和M、N，求四边形面积的最大值，并求此时的k的值；

(3)研究曲线的对称性并证明为椭圆，并求椭圆的焦点坐标．

答案

1．【正确答案】B

【详解】由可得椭圆焦点在轴上，

且则，

故椭圆的焦距是.

故选：B.

2．【正确答案】A

【详解】直线与两坐标轴的交点分别为和0,1，

因为这两点关于y轴的对称点分别为1,0和0,1，

所以直线关于y轴对称的直线方程为

故选：A

3．【正确答案】C

【详解】因为，所以，

因为，所以与共线，

故直线的一个方向向量是.

故选：C

4．【正确答案】A

【详解】的渐近线方程为，

因此，故，

故离心率为，

故选：A

5．【正确答案】D

【详解】设动圆的半径为，因动圆同时与圆及圆相外切，

则，，

则，

故动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线的左支.

又因，解得，故其轨迹方程为.

故选：D.

6．【正确答案】C

【详解】

如图，设两条异面直线，所成的角为，

，，，，，，

，

则

，

得或（舍去）.

故选：C

7．【正确答案】A

【详解】解：设，因为，所以，

则圆的方程为，

联立，

解得，

由，

得，解得或，

又，所以，即，

所以点的横坐标为4

故选：A

8．【正确答案】A

【详解】由题意可知：圆的圆心为点，半径为，，

设椭圆的右焦点为，连接，

因为，可知点为的中点，

且点为的中点，则∥，，

由椭圆定义可知：，

因为为切点，可知，则，

可得，即，

解得，即，

所以椭圆的离心率.

故选：A.

2.焦点三角形的作用

在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．

9．【正确答案】AC

【详解】对于A，因为不共面，所以，，不共面，故A正确；

对于B，设，

即，解得，所以，

所以，，共面，故B错误；

对于C，设，即，方程无解，

所以，，不共面，故C正确；

对于D，设，即，即