江苏‌常州市龙城中学2024-2025学年高三（上）数学第15周阶段性训练模拟练习【含答案】.docVIP

江苏?常州市龙城中学2024-2025学年高三（上）数学第15周阶段性训练模拟练习

一．选择题（共5小题）

1．已知定义在R上的函数f（x）的导数为f′（x），f（1）＝e，且对任意的x满足f（x）﹣f（x）＜ex，则不等式f（x）＞xex的解集是（）

A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，0） C．（0，+∞） D．（1，+∞）

2．已知正三棱锥P﹣ABC的侧棱长为3，当该三棱锥的体积取得最大值时，点A到平面PBC的距离是（）

A． B． C．3 D．

3．已知圆C的直径AB长为8，与C相离的直线l垂直于直线AB，垂足为H，且0＜AH＜2，圆C上的两点P，Q到l的距离分别为d1，d2，且d1≠d2．若d1＝AP，d2＝AQ，则d1+d2＝（）

A．2 B．4 C．6 D．8

4．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于，两点，则p＝（）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．函数，若2f2（x）﹣3f（x）+1＝0恰有6个不同实数解，正实数ω的范围为（）

A． B． C． D．

二．多选题（共5小题）

（多选）6．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上运动（包括端点），下列说法正确的有（）

A．存在点P，使得CP⊥平面A1DB

B．不存在点P，使得直线C1P与平面A1DB所成的角为30°

C．PC+PD的最小值为

D．以P为球心，PA为半径的球体积最小时，被正方形ADD1A1截得的弧长是

（多选）7．关于函数，下列说法正确的有（）

A．函数f（x）的图象关于点对称

B．函数f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减

C．若方程f（x）＝t恰有一个实数根，则

D．若?x∈R，都有f（x）＞m，则m≤﹣2

（多选）8．已知数列{an}中，a1＝1，，则下列结论正确的是（）

A．a4＝13 B．{an}是递增数列

C．a10＜1000 D．an+1＝2an+1

（多选）9．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝2，，则以下四个命题中正确的是（）

A．满足条件的△ABC不可能是直角三角形

B．△ABC面积的最大值为

C．当A＝C时，△ABC的内切圆的半径为

D．若△ABC为锐角三角形，则

（多选）10．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球O，点M为球面上的动点，则下列说法正确的是（）

A．球O的表面积为2π

B．球O在正方体外部的体积大于

C．球O内接圆柱的侧面积的最大值为2π

D．若点M在正方体外部（含正方体表面）运动，则

三．填空题（共4小题）

11．已知函数f（x）＝若，则实数a的值为．

12．已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦距是．

13．已知二面角α﹣l﹣β为60°，α内一条直线m与l所成角为30°，β内一条直线n与l所成角为45°，则直线m与直线n所成角的余弦值是．

14．设奇函数f（x）的定义域为R，且f（x+1）是偶函数，若f（1）＝7，则f（2023）+f（2024）＝．

四．解答题（共5小题）

15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝AD，PD＝2，M是AB的中点，N是线段PC上一点，且MN∥平面PAD，MN⊥PC．

（1）求证：CD⊥平面PAD；

（2）求平面MNC与平面PBD所成的二面角的正弦值．

16．已知函数f（x）＝mex+cosx+n，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x．

（1）讨论函数f（x）在[﹣π，+∞）上的单调性；

（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≥3sinx﹣ax恒成立，求实数a的取值范围．

17．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为e，A，B是C上的相异两点，P（2a，0）．

（1）若点A，B关于原点对称，且FA⊥FB，求e的取值范围；

（2）若点A，B关于x轴对称，直线PA交C于另一点D，直线BD与x轴的交点Q的横坐标为1，过Q的直线交C于M，N两点．已知e＝，求的取值范围．

18．已知函数f（x）＝sinx﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：

（1）f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；

（2）f（x）有且仅有2个零点．

19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB是△ABC外接圆的直径，PC垂直于圆所在的平面，D、E分别是棱PB、PC的中点．

（1）求证：DE⊥平面PAC；

（2）若二面角A﹣DE﹣C为，AB＝PC＝4，求AE与平面ACD所成角的正弦值．

参考答案与试题解析

题号

1

2

3

4

5

答案

A

C

D

D