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《平面向量的概念》同步学案

情境导入

我们知道,年龄、身高、面积、质量等只有大小没有方向,而物理学中的力、位移、速度等既有大小、又有方向,在数学中这两种类型的量有什么不同吗?

自主学习

自学导引

1.向量:既有______又有______的量叫做向量.

2.向量的几何表示:以为起点,为终点的向量记作______.

3.向量的有关概念.

(1)向量的______称为向量的长度(或称模).

(2)零向量:长度为______的向量叫做零向量,记作______.

(3)单位向量:长度等于______的向量叫做单位向量.

(4)相等向量:______且______的向量叫做相等向量.

(5)平行向量(共线向量):方向______的______向量叫做平行向量,平行向量也叫做共线向量.

①记法:向量与平行,记作______.

②规定:零向量与______平行.

答案

1.大小方向

3.(1)大小(2)(3)1个单位长度(4)长度相等方向相同(5)相同或相反非零

①②任意向量

预习测评

1.下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;

⑥路程;⑦密度;⑧功,其中不是向量的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.下列条件中,能得到的是()

A.B.与的方向相同

C.为任意向量D.且

3.下列说法正确的有()

①方向相同的向量叫相等向量;②零向量的长度为0;③共线向量是在同一条直线上的向量;④零向量是没有方向的向量;⑤共线向量不一定相等;⑥平行向量方向相同.

A.2个B.3个C.4个D.5个

4.下列各项中,正确的是()

A.两个有共同起点且共线的向量,其终点必相同

B.模为0的向量与任意向量平行

C.向量就是有向线段

D.

答案

1.D

解析:物理学中质量、路程、密度、功只有大小,速度、位移、力、加速度只有大小,又有方向,故不是向量的有4个.

2.D

解析:A选项中,向量的大小相同,方向不确定;B选项中,向量的方向相同,大小不确定;C选项中,向量的方向相案,大小不同;D选项中,向量的方向、大小都相同.

3.A

解析：②与⑤正确,其余都是错误的.

4.B

解析:由于模为0的向量是零向量,只有零向量的方向不确定,它与任意向量平行,故选B.

新知探究

探究点1向量的有关概念

知识详解

1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.

2.数量:只有大小没有方向的量称为数量.

3.向量的长度:向量的大小称为向量的长度(或称模),记作.

4.零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作.

5.单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.

[特别提示]

1.教材中所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.

2.向量与数量的区别:数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小.

3.判断一个量是否为向量,就要看它是否具备大小和方向两个要素.

典例探究

例1下列命题中,正确的个数是()

①单位向量都相等;

②零向量的长度为0;

③若满足且与同向,则.

A.0 B.1 C.2 D.3

解析:对于①,单位向量的大小相等,但方向不一定相同,故①错误;对于②,长度为0的向量叫做零向量,故②正确;对于③,向量是有方向的量,不能比较大小,故③错误.综上,正确的命题个数是1.

答案:B

方法技巧:解决与向量概念有关的问题的关键是把提向量的核心一一方向和长度,如:单位向量的核心是方向没有限制,但长度都是1个单位长度;零向量的核心是方向没有限制,长度是0.只有紧紧抓住概念的核心,才能顺利解决与向量概念有关的问题.

变式训练1有下列四个命题:

①身高是一个向量;

②速度、力和质量都是向量;

③的两条边都是向量.

其中正确结论的个数是()

A.3 B.2 C.1 D.0

解析:根据向量的概念进行判断,①②③都不正确.对于②,速度和力都是向量,而质量是没有方向的,不是向量,故原命题不正确.

答案:D

探究点2向量的表示

知识详解

1.有向线段表示:向量可以用有向线段表示.

2.几何表示:向量可以用有向线段表示,此时有向线段的方向就是向量的方向.

3.字母表示:通常在印刷时用黑体小写字母表示向量,书写时用表示向量;也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示