专题41 中考最值难点突破隐圆问题（解析版）.pdf

专题41中考最值难点突破隐圆问题（解析版）

模块一典例剖析+针对训练

类型一“一中同长”模

典例11．（2021•鼓楼区二模）如图，OA＝OB＝OC＝OD，∠BOC+∠AOD＝180°．若BC＝4，AD＝6，

则OA的长为（）

A．10B．2C．13D．4

思路引领：过O作OF⊥BC于F，OE⊥AD于E，由等腰三角形的性质得到BF＝CF＝2，AE＝DE＝3，

∠AOE＝∠DOE，∠BOF＝∠COF，由∠BOC+∠AOD＝180°，得到∠AOE+∠BOF＝90°，进而得到∠

A＝∠BOF＝90°﹣∠AOE，根据全等三角形判定证得△AOE≌△OBF，得到OE＝BF＝2，在Rt△AOE

中，根据勾股定理即可求得OA．

解：过O作OF⊥BC于F，OE⊥AD于E，

∴∠AEO＝∠OFB＝90°，

∴∠A+∠AOE＝90°，

∵OA＝OB＝OC＝OD，

1111

∴BF＝CF=BC=×4＝2，AE＝DE=AD=×6＝3，∠AOE＝∠DOE，∠BOF＝∠COF，

2222

∵∠BOC+∠AOD＝180°，

∴∠AOE+∠BOF＝90°，

∴∠A＝∠BOF＝90°﹣∠AOE，

在△AOE和△OBF中，

∠=∠

∠=∠，

=

∴△AOE≌△OBF（AAS），

∴OE＝BF＝2，

在Rt△AOE中，∠AEO＝90°，OE＝2，AE＝3，

∴OA=2+2=32+22=13，

故选：C．

总结提升：本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解

决问题的关键．

针对训练

1．（2016春•龙口市期末）如图，已知AB＝AC＝AD，∠BAC＝50°，∠DAC＝30°，则∠CBD的度数为

（）

A．15°B．25°C．50°D．65°

思路引领：由AB＝AC＝AD，可得B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，然后由圆周角定理，证

得∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，继而可得∠CAD＝2∠BAC．

解：∵AB＝AC＝AD，

∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，

1

∵∠CBD=∠ADC＝15°，

2

故选：A．

总结提升：此题考查了圆周角定理．注意得到B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上是解此题的关

键．

2．（2020•浙江自主招生）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2cm，BC＝4cm，现有一根长为2cm的木棒

EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P

在运动过程中所围成的图形的面积为（）

A．（8﹣π）cm2B．4cm2C．（3+π）cm2D．8cm2

1

思路引领：连接BP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BP=EF，然后判断出点P在

2

运动过程中所围成的图形的面积为长方形的面积减去四个扇形的面积，列式计算即可得解．

解：如图，∵P是EF的中点，

11

∴BP=EF=×2＝