练素养 角平分线中四种常用作辅助线的方法.pptxVIP

苏科版八年级上第二章轴对称图形练素养角平分线中四种常用作辅助线的方法集训课堂

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如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.求证：(1)AM⊥DM；1

证明：∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°.∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴∠BAM＝∠MAD，∠CDM＝∠ADM.∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°.∴∠MAD＋∠ADM＝90°.∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM.

(2)M为BC的中点．证明：如图，过点M作MN⊥AD于点N.∵∠B＝90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD.又∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM＝MN，MN＝CM.∴BM＝CM，即M为BC的中点．

2如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC.求证：∠C＋∠BAD＝180°.

【点方法】本题运用转化思想进行证明．当遇到证明两角的和是180°的问题时，往往将其转化为证明平角或三角形内角和的问题．本题根据角平分线的性质想到从点D向∠ABC的两边作垂线段，构造直角三角形，证明两个直角三角形全等，从而将两个角的和转化为一个平角，进而得出结论．....

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【点方法】本题综合考查了三角形全等的判定与性质和角平分线的性质，解决本题的关键是证明CD平分∠ACB.可以通过添加辅助线构造全等三角形来证明角相等，再由角平分线的性质求得结论．

4【2023·南师大附中树人学校月考】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B.求证：AC＋CD＝AB.

证明：如图，在AB上截取AE＝AC，连接DE，过点E作EF⊥BD于点F，易证△AED≌△ACD.∴ED＝CD，∠AED＝∠C.∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∴∠C＝∠B＋∠EDB.又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝∠EDB.

【点技巧】由AD平分∠BAC考虑将△ACD“折叠”，构造全等三角形．