08第八章题解（必威体育精装版文档）.docVIP

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第八章机械波

8-1．有一个沿轴正向传播的平面简谐波，已知原点处质元的振动方程为（国际制单位），波速．求：（1）该波的波方程；（2）轴正向距原点处质元的振动方程；（3）时原点处及在轴正向距原点处质元的位移．

解（1）该波的波方程为

（2）处质元振动方程为

（3），时

，时

8-2．已知平面简谐波的振幅为，波长为，周期为；波源位于轴原点处．当时，波源处质元位移为零且沿轴正向运动．求：（1）该波波方程；（2）距波源和的两波面上的相位差．

解（1）波源的振动方程为，因时，，所以．因此

若波沿轴正向传播，波方程为

若波沿轴负向传播，波方程为

（2）由于波每传播一个波长的距离相位落后，和相距，恰为一个波长距离，所以其相位差为．

8-3．频率为的平面简谐波，波速为．求：（1）波射线上相位差为的两点相距多远？（2）对某个质元，时间间隔为的两个状态的相位差是多少？

解（1），由于波每传播一个波长的距离相位落后，所以波射线上相位差为的两点相距．

（2），由于质元每经一个周期相位改变，所以某质元时间间隔为的两个状态的相位差为．

8-4．一平面简谐波沿轴正向传播，波源于处，波速．已知处质元的振动方程为（国际制单位）．求：（1）波源的振动方程；（2）该波的波方程．

解（1）由于，所以．可知处质元较处质元相位超前，因此波源的振动方程为

（2）该波的波方程为

8-5．如图为时的平面简谐波的波形曲线，波沿轴负方向传播，波速．求：（1）此波的波方程；（2）时，处质元的速度．

解（1）由波形曲线可见，，时处质元位于且负方向运动．进而可知处质元的初相位，圆频率．所以波源振动方程为

此波的波方程为

（2）对波方程求时间导数得

时，处质元的速度为

8-6．在直径的圆柱形管中传播的平面简谐波，能流密度的大小为，频率为，波速为．求：（1）平均能量密度和最大能量密度；（2）两相邻同相位波面间的总能量．

解（1），所以平均能量密度

由于能量密度，最大能量密度，故．

（2）因为，所以

8-7．如图所示，两个波源和发出两列相干横波，两波源相位相同，波长均为．在，条件下，（1）求出三个值，使点合振幅取极大值；（2）求出三个值，使点合振幅取极小值．

解（1）波程差为波长整数倍，点合振幅取极大值，所以可取值为、、．

（2）波程差为半波长的奇数倍，点合振幅取极小值，所以可取值为、、．

8-8．有两列振幅相同的相干平面简谐横波相向传播，两列波频率均为，波速都是．如图所示，波射线上、两点相距，当一波在处为波峰时，另一波在处恰为波谷．求连线上因干涉而静止的各点的位置．

解因两列相干波振幅相同，故它们因干涉而振幅取极小值的位置即为所求静止位置．

以为坐标原点，为正向建立坐标系．设沿正向传播的波在处为波峰时，沿负向传播的波在处为波谷．

考虑到两波的波长为，相邻一个波长距离波动相位改变，则可知此时波在（）处为波峰，在（）处为波谷；波在（）处为波谷，在（）处为波峰．

而波为波峰、波为波谷的位置，和波为波谷、波为波峰的位置，即为因干涉而振幅取极小值的位置，所以连线上因干涉而静止的各点的位置为．

8-9．张紧的细长绳上传播两列相干横波，它们的波方程为（国际制单位）

，

求：（1）两列波的频率、波长和波速；（2）波节的位置；（3）波腹的位置；（4）波腹处振幅；（5）处振幅．

解（1）波方程，根据和，可知两列波的波长、频率、波速．

（2）

波节位置为，即，（）．

（3）波腹位置为，即，（）．

（4）波腹处振幅为．

（5）处振幅

8-10．入射波的波方程为（国际制单位），波在处的自由端反射，无振幅损失，求反射波方程．

解由入射波波方程可知，，，入射波原点处质元初相位为零．可求出．

入射波在反射处比原点处相位落后；入射波在自由端反射，没有半波损失，；反射波在原点处比反射处相位落后．故反射波在原点处初相位为，所以反射波波方程为

8-11．两观察者和均携带频率为的声源．静止，而以的速率朝向运动，和听到的拍频各为多少？（声速为）

解对观察者：“观察者”静止，声源向“观察者”运动，听到的声音的频率．由于还同时听到自己的声音，所以拍频

对观察者：声源静止，“观察者”向声源运动，听到的声音的频率．由于还同时听到自己的声音，所以拍频

8-12．一音叉以的速率接近墙壁，观察者在音叉后面听到拍频为，求音叉振动频率．（声速为）

解观察者在音叉后面可以直接听到音叉的声音，这时“观察者”静止，声源远离“观察者”运动，观察者听到的频率．

墙壁在音叉前面，墙壁可以接受到音叉的声音，这时“观察者”（墙壁）静止，声源向“观察者”运动，墙壁接受到的频率．墙壁接受到音叉的声音后以频率振动，又发出频率的声波，观察者在音叉后面还可