最短路的Floyd算法.pptVIP

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2024-12-28 发布于广西
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最短路的Floyd算法.ppt

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运筹学讲课教师：熊德国河南理工大学能源科学与工程学院

最短路的Floyd算法FLOYD算法以上介绍的算法用来求源点至各点的最短路。在有些问题中，我们需要知道节点两两之间的最短路，比方选址问题。这类问题可以用DIJKSTRA算法，依次改变源点来求解，但计算比较繁琐。现在介绍一种直接计算任意两节点之间最短路的方法――Floyd算法，该算法由Floyd于1962年提出。

最短路的Floyd算法Floyd算法是权矩阵迭代算法，记网络的权矩阵为其中

最短路的Floyd算法算法根本步骤为：〔2〕计算其中，〔3〕重复〔2〕，直到此时即为节点i到点j的最短路的距离。〔1〕令

最短路的Floyd算法例4.3.4用Floyd算法计算图4－21中任意两节点间的最短路。

最短路的Floyd算法解：写出图4－21的权矩阵D，并令

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最短路的Floyd算法D1的元素d1ij的意义为i直接到达j及经节点1到达j的两种方式中，最短路线的距离；

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最短路的Floyd算法D2的元素d2ij的意义为i直接到达j及最多经节点1、2到达j的所有方式中，最短路线的距离，这些可能的方式有：i-j，i-1-j，i-2-j，i-1-2-j，i-2-1-j。例如d243＝4423表示节点4到节点3在这些方式中取4－2－3为最短路，距离为4。下标‘423’便于在算法结束时确定最短路之用。

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最短路的Floyd算法任意两节点之间的最短路，最多可经过节点1、2…n到达，因此当计算到Dn时，算法已结束，至此，得到任意两点间的最短路及其距离。如本例题中，节点1、6之间的最短路为1－2－4－6，距离为9；节点3、4之间的最短路为3－5－4，距离为3；节点6、4之间的最短路为6－4，距离为3，等等。

最短路的Floyd算法例4.3.5选址问题――最短路问题的应用II图4－22为某地区的居民区分布图，各边旁的数据为居民区间的距离，拟在其中一个居民区建一个大型超市，问超市建在那里，才能使距离超市最远的居民到超市的距离最近？

最短路的Floyd算法解：如果超市建在i点，那么需计算出i至各点的最短路的距离，其中最大者即离超市最远，于是问题变成求这些最大最短路中的最小者。

最短路的Floyd算法为此需计算任意两点间的最短路。表示节点i到各节点的最短路中的最大值。超市应建在第6居民区，到超市最远的居民区为节点5所示的小区，距离为48。用Floyd算法计算结果为以下矩阵D。