第14讲 二次函数的应用（讲义 考点 命题点19种题型 技巧）-2025年中考数学一轮复习讲练（全国通用）（解析版）.docx

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第三章函数

第14讲二次函数的应用

（思维导图+考点+11种题型（含4种解题技巧））

TOC\o1-1\n\h\z\u01考情透视·目标导航

02知识导图·思维引航

03考点突破·考法探究

04题型精研·考向洞悉

?题型01最大利润问题

?题型02方案选择问题

?题型03行程问题

?题型04拱桥问题

?题型05隧道通车问题

?题型06喷水问题

?题型07投球问题

?题型08利用图像构建函数模型解决问题

?题型09图形最大面积问题

?题型10图形问题

?题型11图形运动问题

01考情透视·目标导航

中考考点

考查频率

新课标要求

二次函数的实际应用-图形面积问题

★★

通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；

能解决相应的实际问题.

二次函数的实际应用-利润最值问题

★★

二次函数的实际应用-其他问题

★★

【考情分析】二次函数的实际应用多以解答题形式出现，难度中等，考查类型包括销售问题，拱桥、投篮等抛物线型问题.一般需要根据题目条件列出二次函数关系式，再利用其性质确定最大利润/最大面积等.

02知识导图·思维引航

03考点突破·考法探究

1.用二次函数解决实际问题的一般步骤：

1）审：仔细审题，理清题意；

2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；

3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；

4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题；

5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.

【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．

2.利用二次函数解决实际问题的常见类型

常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题.

04题型精研·考向洞悉

?题型01最大利润问题

利用二次函数解决利润最值的方法：利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题.

1．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．

销售单价x/元

…

12

14

16

18

20

…

销售量y/盒

…

56

52

48

44

40

…

(1)求y与x的函数表达式；

(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？

(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．

【答案】(1)y=?2x+80

(2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元

(3)2

【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：

（1）利用待定系数法求解即可；

（2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可；

（3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可．

【详解】（1）解∶设y与x的函数表达式为y=kx+b，

把x=12，y=56；x=20，y=40代入，得12k+b=5620k+b=40

解得k=?2b=80

∴y与x的函数表达式为y=?2x+80；

（2）解：设日销售利润为w元，

根据题意，得w=

=

=?2

=?2x?25

∴当x=25时，w有最大值为450，

∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；

（3）解：设日销售利润为w元，

根据题意，得w=

=

=?2x

∴当x=?100+2m2×?2=50+m

∵糖果日销售获得的最大利润为392元，

∴?250+m

化简得m

解得m1=2

当m=58时，x=?b

则每盒的利润为：54?10?580,舍去，

∴m的值为2．

2．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活