2021年九年级中考一轮复习寒假数学抢分特训系列—《几何专题之圆的综合》（三）.docx

2021年九年级中考一轮复习寒假数学抢分特训系列—

《几何专题之圆的综合》（三）

1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，＝，BE⊥DC交DC的延长线于点E．

（1）求证：∠1＝∠BCE；

（2）求证：BE是⊙O的切线；

（3）若EC＝1，CD＝3，求cos∠DBA．

2．如图1，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，点M为AB中点，点D在弧上，连接CD、BD，点G是CD的中点，连结MG．

（1）求证：MG⊥CD；

（2）如图2，若AC＝BC，AD平分∠BAC，AD与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，求证：CF＝CE；

（3）在（2）的条件下，若OG?DE＝3（2﹣），求⊙O的面积．

3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC内接于⊙P，AB是⊙P的直径，A（﹣1，0）C（3，2），BC的延长线交y轴于点D，点F是y轴上的一动点，连接FC并延长交x轴于点E．

（1）求⊙P的半径；

（2）当∠A＝∠DCF时，求证：CE是⊙P的切线．

4．如图，在⊙O中，点D是⊙O上的一点，点C是直径AB延长线上一点，连接BD，CD，且∠A＝∠BDC．

（1）求证：直线CD是⊙O的切线；

（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝2时，求MN的长．

5．如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中点，弦CG⊥AB于点D，交AE于点F，过点C作⊙O的切线，交BA延长线于点P，连接BE

（1）求证：PC∥AE

（2）若sinP＝，CF＝5，求BE的长．

6．如图，AB为⊙O的直径，C为半圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点B作BD⊥l，垂足为D，BD与⊙O交于点E，连接OC，CE，AE，AE交OC于点F．

（1）求证：△CDE≌△EFC；

（2）若AB＝4，连接AC．

①当AC＝时，四边形OBEC为菱形；

②当AC＝时，四边形EDCF为正方形．

7．如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，CD是⊙O切线，D在AB的延长线上，作AE⊥CD于E．

（1）求证：AC平分∠BAE；

（2）若AC＝2CE＝6，求⊙O的半径；

（3）请探索：线段AD，BD，CD之间有何数量关系？请证明你的结论．

8．如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．

（1）求证：∠ABD＝2∠BDC；

（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，求证：EA＝EC；

（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长

9．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于点F

（1）求证：BF平分∠DFE；

（2）若EF＝DF，BE＝5，AH＝，求⊙O的半径．

10．如图所示，⊙O的半径为5，点A是⊙O上一点，直线l过点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD的延长线交直线l于点F，点A是的中点．

（1）求证：直线l是⊙O的切线；

（2）若PA＝8，求PB的长．

参考答案

1．解：（1）过点B作BF⊥AC于点F，

在△ABF与△DBE中，

∴△ABF≌△DBE（AAS）

∴BF＝BE，

∴∠1＝∠BCE

（2）连接OB，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°，即∠1+∠BAC＝90°，

∵∠BCE+∠EBC＝90°，且∠1＝∠BCE，

∴∠BAC＝∠EBC，

∵OA＝OB，

∴∠BAC＝∠OBA，

∴∠EBC＝∠OBA，

∴∠EBC+∠CBO＝∠OBA+∠CBO＝90°，

∴BE是⊙O的切线；

（3）由（2）可知：∠EBC＝∠CBF＝∠BAC，

在△EBC与△FBC中，

，

∴△EBC≌△FBC（AAS），

∴CF＝CE＝1，

由（1）可知：AF＝DE＝1+3＝4，

∴AC＝CF+AF＝1+4＝5，

∴cos∠DBA＝cos∠DCA＝＝

2．（1）证明：如图1中，连接OC，OD．

∵∠ACB＝90°，

∴AB是⊙O的直径，点M与O重合，

∴∠ADB＝90°，

∵OA＝OB，

∴CO＝AB，OD＝AB，

∴CO＝OD，∵CG＝GD，

∴CG⊥CD，

即MG⊥CD．

（2）证明：如图2中，

在△ACE和△BCF中，

，

∴△ACE≌△BCF（ASA），

∴CE＝CF．

（3）解：过点O作OH⊥BD于H，则BH＝DH，

则OH＝AD，即AD＝2OH，

又∵∠CAD＝∠BAD，

∴CD＝BD，

∴OH＝OG，

∵∠DBE＝∠DAC＝∠BAD，

∴Rt△BDE∽Rt△ADB，

∴BD：AD＝DE：BD，

∴BD2＝AD?DE＝2OH?DE＝2OG?DE＝6（2﹣），

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴AD⊥BF，

而AD平分∠BAC，

∴AB＝AF，

∴BD＝FD，

∴BF＝2BD，

∴