新高考数学一轮复习精品讲练测第2章第03讲 指数与指数函数（学生版）.docVIP

第03讲指数与指数函数（核心考点精讲精练）

知识讲解

指数的基本知识

根式的基本性质

①的定义域为,的定义域为

②，定义域为

③，定义域为

④，定义域为

⑤，定义域为

指数的基本性质

①零指数幂:;

②负整数指数幂:

③正分数指数幂:;

④负分数指数幂:

指数的基本计算

①同底数幂的乘法运算②同底数幂的除法运算

③幂的乘方运算④积的乘方运算

指数函数

指数函数的定义及一般形式

一般地，函数，叫做指数函数

指数函数的图象和性质

图

象

定义域

值域

性质

过定点

当时，；

时,

当时，；

时,

在上是增函数

在上是减函数

考点一、指数与指数幂的运算

1．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．

【详解】，故A错误，C正确；

，不是常数，故BD错误；

故选：C．

2．（2020·全国·统考高考真题）设，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解

【详解】由可得，所以，

所以有，

故选：B.

【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.

1．（上海·高考真题）满足方程的值为________．

【答案】0

【分析】令，原方程化为，即可求出，从而求出；

【详解】解：令，原方程化为，解得或

因为，所以，即，解得

故答案为：0

【点睛】本题考查指数的运算，属于基础题.

2．（2023·全国·模拟预测）（????）

A． B． C． D．3

【答案】A

【分析】利用指数幂的运算性质化简计算即可.

【详解】．

故选：A．

3．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用指数的运算性质可求得所求代数式的值.

【详解】.

故选：B.

4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数，则（????）

A．为奇函数 B．为偶函数

C．为奇函数 D．为偶函数

【答案】B

【分析】方法一：可得，即可得到函数关于对称，从而得到为偶函数；

方法二：求出的解析式，即可判断.

【详解】方法一：因为，所以，

所以函数关于对称，将的函数图象向左平移个单位，关于轴对称，

即为偶函数.

方法二：因为，，

则，所以为偶函数；

又，故，，

所以，，故为非奇非偶函数；

又，故，，

所以，，故为非奇非偶函数；

又，故，，

所以，，故为非奇非偶函数.

故选：B

考点二、指数函数的图象及其应用

1．（2023·海南·模拟预测）已知函数，，的图象如图所示，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由函数图象可确定大小关系，结合指数函数单调性可得结果.

【详解】由图象可知：，.

故选：C.

2．（2023·山东枣庄·统考二模）指数函数的图象如图所示，则图象顶点横坐标的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数的图象可知，，再结合二次函数的顶点式即可解出．

【详解】由图可知，，而，顶点横坐标为，所以．

故选：A．

1．（2023·安徽安庆·校考一模）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据，，结合对数函数与指数函数的单调性判断即可.

【详解】，为定义域上的单调递增函数

，故不成立；

，为定义域上的单调递增函数，

，故C和D不成立.

故选：B.

2．（2023·安徽合肥·统考一模）（多选）已知，函数的图象可能是（????）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据给定的函数，按分类探讨，结合函数的单调性及函数增长速度的大小判断作答.

【详解】当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，

因此函数在上单调递增，而，函数图象为曲线，A可能；

当时，函数在上的图象是不含端点的射线，B可能；

当时，取，有，即函数图象与x轴有两个公共点，

又，随着的无限增大，函数呈爆炸式增长，其增长速度比的大，

因此存在正数，当时，恒成立，即，C可能，D不可能.

故选：ABC

3．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是______.

【答案】

【分析】求出函数所过的定点，则有，则，则，化简整理，分离常数再结合基本不等式求解即可.

【详解】函数且的图象过定点，

则，所以，

由，得，

则

令，则，

则

，

当且仅当，即，即时，取等号，

所以的最小值是.

故答案为：.

考点三、指数（型）函数的单调性

1．（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】