重难点03 二次函数的最值问题（ 命题预测 题型 专题训练 解题方法）-2025年中考数学一轮复习讲练（全国通用）（解析版）.docx

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第三章函数

重难点03二次函数的最值问题

（2种命题预测+19种题型汇总+专题训练+10种解题方法）

【题型汇总】

类型一代数最值

题型01定轴定区间最值问题

解题方法：对于二次函数在m≤x≤n上的最值问题(其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值.

1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在x=?b

2）若m≤?b2a≤n，n+b2a＞

3)若m≤?b2a≤n，n+b2a＜

4)若m≤x≤n＜?b2a时，如图④，当，当

5)若?b2a＜m≤x≤n时，如图⑤，当，当

1．（2023·辽宁大连·中考真题）已知抛物线y=x2?2x?1，则当0≤x≤3

A．?2 B．?1 C．0 D．2

【答案】D

【分析】把抛物线y=x2?2x?1化为顶点式，得到对称轴为x=1，当x=1时，函数的最小值为?2，再分别求出x=0

【详解】解：∵y=x

∴对称轴为x=1，当x=1时，函数的最小值为?2，

当x=0时，y=x2?2x?1=?1，当x=3

∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2，

故选：D

【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

2．（2024·山东济宁·一模）已知二次函数y=ax2?6ax+6a，若当2≤x≤5时，y的最大值是3，则a

【答案】3或?1/?1或3

【分析】本题考查二次函数的最值问题，分a0,a0，两种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可．

【详解】解：∵y=ax

∴对称轴为直线x=??6a

当a0时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，

∵2≤x≤5，

∴当x=5时，函数值最大为：25a?30a+6a=3，

∴a=3，

当a0时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，

∵2≤x≤5，

∴当x=3时，函数有最大值为：9a?18a+6a=3，

∴a=?1；

故答案为：3或?1．

3．（2023·江苏宿迁·模拟预测）已知二次函数y=ax?22+aa0，当?4≤x≤1时，y的最小值为?74，则

【答案】?2

【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据函数解析式得到二次函数开口向下，对称轴为直线x=2，则离对称轴越远函数值越小，即可得到当x=?4时，y=?74，据此代值计算即可得到答案．

【详解】解：∵二次函数解析式为y=ax?2

∴二次函数开口向下，对称轴为直线x=2，

∴离对称轴越远函数值越小，

∵当?4≤x≤1时，y的最小值为?74，

∴当x=?4时，y=?74，

∴a?4?2

解得a=?2，

故答案为：?2．

4．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c

（1）求抛物线解析式；

（2）当?2x2时，求函数值y的范围；

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）-4≤y＜5

【分析】（1）把三点的坐标代入函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可；

（2）先得出抛物线的开口方向，对称轴，再结合x的范围得到y的最值．

【详解】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（-1，0），B（3，0），C（4，5）三点，

∴0=a?b+c0=9a+3b+c5=16a+4b+c，解得：

∴二次函数的解析式是y=x2-2x-3；

（2）抛物线的对称轴为直线x=??2

1＞0，则开口向上，

又∵?2x2，

∴当x=1时，y取最小值，即ymin=-4；

当x=-2时，y取最大值，即ymax=5，

∴y的范围是-4≤y＜5．

【点睛】本题考查了二次函数的顶点，二次函数的性质和用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．

题型02利用对称轴与图像解决图系关系问题

解题方法：开口方向不确定时，先讨论开口方向;

1）开口向上时，离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大;

2）开口向下时，离对称轴越近，函数值越大，离对称轴越远，函数值越小。

5．（2024·安徽淮南·三模）已知二次函数y=a

（1）若a=?1,则函数y的最大值为．

（2）若当?1≤x≤4时，y的最大值为5，则a的值为．

【答案】41或?

【分析】本题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．

（1）由题意可知此时二次函数为y=?x

（2）将该抛物线一般式改为顶点式，即得出该抛物线对称轴为直线x=1，再分类讨论当a0时和当a0时，结合二次函数的图象和性质求解即可．

【详解】解：（1）当a=?1时，该二次函数为y=?x

∵a=?10，

∴当x=1时，y有最大值，最大值为4．

故答案为：4；

（2）∵y=ax

∴该二次函数的对称轴为直线x=1．

当a0时，抛物线开口向上，

∴当?1≤x≤1时，y随x的增大而减小，当1x≤4时，y随x的