9.2.3总体集中趋势的估计 教案-2021-2022学年高中数学（人教A版2019）必修第二册.docxVIP

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9.2.3总体集中趋势的估计

一、教学目标1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(众数、中位数、平均数)

2.会求样本数据的众数、中位数、平均数

3.理解集中趋势参数的统计含义

4.通过对总体集中趋势的估计的学习，培养学生数学分析、数学运算、数学建模等数学素养

二、教学重点会用样本的数字特征估计总体的数字特征

教学难点会用样本的数字特征估计总体的数字特征，用样本估计总体的思想解决问题

三、教学过程

1、情境引入

问题1:在初中的学习中我们学习了平均数、中位数和众数等刻画“中心位置”的量，请大家探究它们之间的联系与区别以及根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势，教师点拨引出本节课所学内容

2、探索新知

1）众数、中位数和平均数的定义

①平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数

②中位数：将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.若数据个数是偶数，则取中间两个数据的平均数

③众数：一组数据中出现次数最多的数据

2）平均数、中位数和众数的比较

名称

优点

缺点

平均数

与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感

任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大

中位数

不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响

对极端值不敏感

众数

体现了样本数据的最大集中点

众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感

问题2：小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数，但在录入数据时，不小心把一个数据7.7录成了77.请计算录入数据的平均数和中位数，并与真实的样本平均数和中位数作比较.哪个量的值变化更大？

答：平均数由原来的8.79t变为9.483t，中位数没有变化，还是6.6t.这是因为样本平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变；但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变.因此，与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感

探究1：平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图的三种分布形态中，平均数和中位数的大小存在什么关系？

答：一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的（如图（1）），那么平均数和中位数大体上差不多

如果直方图在右边“拖尾”（如图（2）），那么平均数大于中位数

如果直方图在左边“拖尾”（如图（3）），那么平均数小于中位数。也就是说，平均数总是在“长尾巴”那边

【例1】某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如表所示

校服规格

155

160

165

170

175

合计

频数

39

64

167

90

26

386

如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论用表中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性

解：为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据，如图可以发现，选择校服规格为“165”的女生的频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适

由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理

探究2：样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据。例如，我们在报纸、网络上获得的往往是已经整理好的统计表或统计图。这时该如何估计样本的平均数、中位数和众数？你能以下面的频率分布直方图提供的信息为例，给出估计方法吗？

问题3：根据频率分布直方图如何计算样本平均数？

答：因为样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替，即每一组的平均数为该组小矩形底边中点横坐标。那么由上图可得样本平均数为

问题4：根据频率分布直方图如何计算样本中位数？

答：根据中位数的意义可得，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等

由于0.077×3=0.231，（0.077+0.107）×3=0.552

因此中位数落在区间[4.2，7.2）内

设中位数为x，由0.077×3+0.107×（x-4.2）=0.5，