2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》空间向量及其.pdfVIP

2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》

§8.5空间向量及其运算

必威体育精装版考纲1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.了解空间向量的概念，了解空

间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性

运算及其坐标表示.4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的

共线与垂直．

1．空间向量的有关概念

名称概念表示

零向量模为0的向量0

单位向量长度(模)为1的向量

相等向量方向相同且模相等的向量a＝b

相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行

共线向量a∥b

或重合的向量

共面向量平行于同一个平面的向量

2．空间向量中的有关定理

(1)共线向量定理

空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.

(2)共面向量定理

共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．

(3)空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p

＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．

3．空间向量的数量积及运算律

(1)数量积及相关概念

①两向量的夹角

→→

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b

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π

的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，

2

记作a⊥b.

②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作ab·，即ab·

＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)空间向量数量积的运算律

①(λa)·b＝λ(ab·)；

②交换律：ab·＝ba·；

③分配律：a·(b＋c)＝ab·＋a·c.

4．空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b).

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向量表示坐标表示

数量积a·bab＋ab＋ab

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共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a＝λb，a＝λb，a＝λb

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垂直ab·＝0(a≠0，b≠0)ab＋ab＋ab＝0

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