解一元二次方程数学知识点总结.pptx

解一元二次方程数学知识点总结

一元二次方程基本概念一元二次方程求解方法一元二次方程根的性质一元二次方程的应用问题一元二次方程与其他知识点的联系一元二次方程常见误区及注意事项目录

01一元二次方程基本概念

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的定义$ax^2+bx+c=0$（$aneq0$）。其中，$a$、$b$、$c$是常数，$x$是未知数。一元二次方程的一般形式定义与形式

系数与根的关系01方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根。02一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$aneq0$）的两个根是$x_1$和$x_2$，那么有03$x_1+x_2=-frac{b}{a}$04$x_1timesx_2=frac{c}{a}$

判别式及其意义当$Delta0$时，方程有两个不相等的实数根。判别式的意义判别式的定义：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$aneq0$），其判别式$Delta=b^2-4ac$。当$Delta=0$时，方程有两个相等的实数根（即一个重根）。当$Delta0$时，方程没有实数根，而是有两个共轭的虚数根。

02一元二次方程求解方法

0102直接开平方法解法步骤：直接对方程两边开平方，得到$x=pmsqrt{a}$适用于形式简单的一元二次方程，如$x^2=a$（$ageq0$）

配方法适用于一般形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$aneq0$）解法步骤1.将方程化为$x^2+frac{b}{a}x=-frac{c}{a}$3.开平方解得$x+frac{b}{2a}=pmsqrt{frac{b^2-4ac}{4a^2}}$4.最终解得$x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$2.配方得到$(x+frac{b}{2a})^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}$

解法步骤直接使用求根公式$x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中$b^2-4ac$为判别式注意当$b^2-4ac0$时，方程无实数解；当$b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数解；当$b^2-4ac0$时，方程有两个不相等的实数解。公式法

适用于部分一元二次方程，即能将方程左边化为两个一次多项式的乘积的形式解法步骤1.将方程左边因式分解，得到形如$(x-x_1)(x-x_2)=0$的形式2.分别令每个因式等于零，解得$x_1$和$x_2$为方程的式分解法

03一元二次方程根的性质

根与系数的关系一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根$x_1,x_2$满足：$x_1+x_2=-frac{b}{a},quadx_1timesx_2=frac{c}{a}$根的和等于系数之比的相反数，根的积等于常数项与首项系数之比。

当$Delta0$时，方程无实根，有两个共轭虚根。当$Delta0$时，方程有两个不相等的实根。一元二次方程的判别式$Delta=b^2-4ac$，用于判断方程的根的情况当$Delta=0$时，方程有两个相等的实根（重根）。判别式还可以用于求根公式中的分母开方，即$x=frac{-bpmsqrt{Delta}}{2a}$。根的判别式及应用0103020405

重根与无理根的处理当方程有重根时，可以通过因式分解法或求根公式法求解，此时两个根相等。当方程的根为无理数时，一般使用求根公式法求解，结果保留根号形式。若需要近似解，可以使用计算器或数值方法求解。对于含有参数的一元二次方程，可以根据参数的不同取值范围，讨论方程的根的情况。

04一元二次方程的应用问题

通过长、宽与面积的关系建立一元二次方程，求解未知边长。矩形面积问题圆形面积问题三角形面积问题利用圆的半径与面积的关系建立一元二次方程，求解未知半径。通过底、高与面积的关系建立一元二次方程，求解未知底或高。030201面积问题

根据进价、售价和利润率之间的关系建立一元二次方程，求解未知售价或进价。利润率问题利用商品原价、折扣率和现价之间的关系建立一元二次方程，求解未知折扣率或现价。折扣问题通过固定成本、单位变动成本和销售收入之间的关系建立一元二次方程，求解未知固定成本或单位变动成本。盈亏平衡点问题利润问题

变速直线运动问题利用加速度、初速度、时间和