《结构动力学》第3章自由振动反应.pptx

结构动力学DynamicsofStructures

第3章自由振动反应

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Chapter3AnalysisofFreeVibrations结构动力学

本章提要§2-1运动方程的解§2-2无阻尼自由振动§2-3有阻尼自由振动3

单自由度体系(SDOF)：4

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表征结构动力响应特性的一些固有量称为结构的动力特性，又称自振特性。定义结构的振动反应结构的动力特性与结构的质量、刚度、阻尼及其分布有关。7

定义结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，这种振动称为结构的自由振动。如果结构在振动过程中不断地受到外部干扰力作用，这种振动称为结构的强迫振动，又称受迫振动。结构的自由振动与受迫振动8

固有频率质点在运动过程中完成一个完整的循环所需要的时间称为周期，单位时间内完成的循环次数称为频率。结构在自由振动时的频率称为结构的自振频率或固有频率。对大部分工程结构，结构的自振频率的个数与结构的动力自由度数相等。结构的自振频率与结构的质量和刚度有关。9

阻尼结构在振动过程中的能量耗散作用称为阻尼。结构的自由振动会因为阻尼作用而随时间衰减并最终停止。由于阻尼而使振动衰减的结构系统称为有阻尼系统。阻尼原因复杂：内摩擦、连接摩擦、周围介质阻力等。等效粘滞阻尼：以阻尼器表示结构阻尼作用：c为阻尼系数，为质量的速度。10

§2-1运动方程的解最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系.已经得到单自由度体系的运动方程：（2-1）这个运动方程也适用于可转换为单自由度体系的任何复杂结构体系的广义坐标反应。11

运动方程：等效动荷载为零的情况下的振动称为自由振动。定义自由振动产生的原因：初始时刻的干扰！初始位移；初始速度；初始位移+初始速度结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，这种振动称为结构的自由振动。去掉外荷载p(t)=0!上式称为（二阶线性常系数）齐次方程；12

齐次方程的求解：可设齐次方程解的形式为：（2-3）其特征方程为：或：代入（2-2）可得：（2-4）（2-2）称为（二阶线性常系数）齐次方程(Homogeneousequation)；式中ω2=k/m，ω是体系振动的圆频率。根据阻尼系数c值的不同，解出的特征参数s值将具有不同的特性。（2-2）13

§2-2无阻尼自由振动Ifc=0：特征方程：自由振动方程：（2-7）引入Euler方程：代入(2-2)得：（2-9）A和B是由初始条件决定的常数。得无阻尼自由振动的位移反应：（2-10）（2-2）14

设t=0时：代入：代入：单自由度无阻尼体系运动方程的解：（2-11）或写成：（2-14）位移反应：（2-10）15

三角关系：对比(2-11)，显然有：(2-13)成为：即：（2-14）（2-11）16

（2-14）物理意义：（2-11）17

（2-14）物理意义：（2-11）18

定义对于无阻尼体系，运动完全是反复进行的。运动的最大位移称为振幅。运动完成一个完整循环所需时间称为自振周期，由于对应每个角增量2π便发生一个完整循环，自振周期就是：单位时间内的循环次数称为自振频率：运动的角速度称为自振圆频率：19

20单摆运动

例题21

§2-3有阻尼自由振动对于有阻尼的单自由度体系特征方程：自由振动方程：∵则：随着根号中值的符号的不同，这个表达式可以描述临界阻尼、低阻尼和超阻尼三种体系的运动型式。本课程只讲临界阻尼和低阻尼两种情况。（2-2）22

1）临界阻尼当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然，应有cc/2m=w，即：特征方程的根：这时，对应的s值为：自由振动方程：临界阻尼自由振动方程的解为：（2-19）（2-20）（2-2）23

由初始条件：得到临界阻尼体系反应的最终形式：临界阻尼位移解：临界阻尼体系反应不是简谐振动，体系的位移反应从开始时的V0，依照指数规律衰减，回复到零点。临界阻尼的物理意义是：在自由振动反应中不出现震荡所需要的最小阻尼值。速度（2-20）24

2）低阻尼特征方程：自由振动方程：引入符号：（2-2）如果体系的阻尼比临界阻尼小，则显然有，这时，特征方程根式中的值必然为负值，则s值成为：其中表示体系阻尼与临界阻尼的比值，称为阻尼比，则：25

成为：低阻尼自由振动方程：的解为：引入Euler方程：引入符号：其中wd称为有阻尼振动频率。则（2-25）则26

利用初始条件：得到低阻尼体系动力反应的最终形式：（2-25）27