高中物理奥赛14种经典方法 06.递推法.docx

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六、递推法

方法简介

递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况。即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论。再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式。

塞题精析

例1：质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某时刻t，加速度变为2a；在时刻2t，加速度变为3a；…；在nt时刻，加速度变为(n+1)a，求：

（1）nt时刻质点的速度；

（2）nt时间内通过的总路程。

解析：根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解。

（1）物质在某时刻t末的速度为vt=at

2t末的速度为v2t=vt+2at即v2t=at+2at

3t末的速度为v3t=v2t+3at=at+2at+3at

……

则nt末的速度为vnt=v(n－)t+nat=at+2at+3at+…+nat=at(1+2+3+…+n)

=at(n+1)n=n(n+1)at

（2）同理：可推得nt内通过的总路程s=n(n+1)(2n+1)at2

例2：小球从高h0=180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小（n=2），求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程。（g取10m/s2）

解析：小球从h0高处落地时，速率v0==60m/s

第一次跳起时和又落地时的速率v1=

第二次跳起时和又落地时的速率v2=

……

第m次跳起时和又落地时的速率vm=

每次跳起的高度依次为h1==，h2==，……，

通过的总路程Σs=h0+2h1+2h2+…+2hm+…

=h0+(1+++…++…)

=h0+=h0=h0=300m

经过的总时间为Σt=t0+t1+t2+…+tm+…

=++…++…

=［1+2+…+2()m+…］

===18s

例3：A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？

解析：由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图6—1所示。所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解。

设经时间t可捕捉猎物，再把t分为n个微小时间间隔Δt，在每一个Δt内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔Δt，正三角形的边长分别为a1、a2、a3、…、an，显然当an→0时三只猎犬相遇。

a1=a－AA1－BB1cos60°=a－vΔt

a2=a1－vΔt=a－2×vΔt

a3=a2－vΔt=a－3×vΔt

……

an=a－nvΔt

因为a－nvΔt=0，即nΔt=t

所以：t=

（此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解。）

例4：一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为m，若一次直接起动，车头的牵引力能带动30节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车厢？

解析：若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加，若利用倒退起动，则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能则不同。

原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在Δs的宽松距离，设火车的牵引力为F，则有：

车头起动时，有：(F－μmg)Δs=m

拉第一节车厢时：(m+m)=mv1

故有：==(－μg)Δs

(F－2μmg)Δs=×2m－×2m

拉第二节车厢时：(m+2m)=2mv2

故同样可得：==(－μg)Δs

……

推理可得：=(－μg)Δs

由＞0可得：F＞μmg

另由题意知F=31μmg，得：n＜46

因此该车头倒退起动时，能起动45节相同质量的车厢。

例5有n块质量均为m，厚度为d的