新高考数学二轮培优训练专题19 等差数列与等比数列基本量的问题（解析版）.doc

专题19等差数列与等比数列基本量的问题

1、（2023年全国乙卷数学（文））已知为等比数列，，，则______.

【答案】

【详解】设的公比为，则，显然，

则，即，则，因为，则，

则，则，则，

故答案为：.

2、（2023年全国甲卷数学（文））记为等差数列的前项和．若，则（????）

A．25 B．22 C．20 D．15

【答案】C

【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，

，即,

又，解得：，

所以．

故选：C.

方法二：，，所以，，

从而，于是，

所以．

故选：C.

3、（2023年全国甲卷数学（文））记为等比数列的前项和．若，则的公比为________．

【答案】

【详解】若，

则由得，则，不合题意.

所以.

当时，因为，

所以，

即，即，即，

解得.

故答案为：

4、（2023年全国甲卷数学（理））已知正项等比数列中，为前n项和，，则（????）

A．7 B．9 C．15 D．30

【答案】C

【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出.

【详解】由题知,

即,即,即.

由题知,所以.

所以.

故选:C.

5、（2023年新高考天津卷）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（????）

A．3 B．18 C．54 D．152

【答案】C

【详解】由题意可得：当时，，即，????①

当时，，即，????????②

联立①②可得，则.

故选：C

6、【2022年全国乙卷】已知等比数列an的前3项和为168，a2?

A．14 B．12 C．6 D．3

【答案】D

【解析】设等比数列an的公比为q,q≠0

若q=1，则a2

所以q≠1，

则a1+a

所以a6

故选：D.

7、（2023年新课标全国Ⅰ卷）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（????）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，

则，

因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；

反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，

即，则，有，

两式相减得：，即，对也成立，

因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，

则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；

反之，乙：为等差数列，即，

即，，

当时，上两式相减得：，当时，上式成立，

于是，又为常数，

因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

8、（2023年新课标全国Ⅰ卷）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．

(1)若，求的通项公式；

(2)若为等差数列，且，求．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1），，解得，

，

又，

，

即，解得或（舍去），

.

（2）为等差数列，

，即，

，即，解得或，

，，

又，由等差数列性质知，，即，

，即，解得或（舍去）

当时，，解得，与矛盾，无解；

当时，，解得.

综上，.

9、（2023年新课标全国Ⅱ卷）记为等比数列的前n项和，若，，则（????）．

A．120 B．85 C． D．

【答案】C

【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，

若，则，与题意不符，所以；

由，可得，，①，

由①可得，，解得：，

所以．

故选：C．

方法二：设等比数列的公比为，

因为，，所以，否则，

从而，成等比数列，

所以有，，解得：或，

当时，，即为，

易知，，即；

当时，，

与矛盾，舍去．

故选：C．

10、（2023年全国乙卷数学（文））记为等差数列的前项和，已知．

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）设等差数列的公差为，

由题意可得，即，解得，

所以，

（2）因为，

令，解得，且，

当时，则，可得；

当时，则，可得

；

综上所述：

11、【2022年全国甲卷】记Sn为数列an的前n项和．已知

(1)证明：an

(2)若a4,a

【答案】(1)证明见解析；

(2)?78．

【解析】(1)

解：因为2Snn+n=2

当n≥2时，2Sn?1

①?②得，2S

即2a

即2n?1an?2n?1an?1

所以an是以1

(2)解：由（1）可得a4=a1+3

又a4，a7，a9

即a1+62

所以an=n?13，所以

所以，当n=12或n=13时Sn

题组一、等差、等比数列的基本量的问题

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