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《利用函数性质判定方程解的存在性》教学设计一

教学设计

一、问题导入

判断下列方程是否有实根，有几个实根？

（1）；（2）.

问题：对于第（1）个方程，大家都习惯性地用代数的方法去解决，对于第（2）个方程，我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？

设计意图：复习方程的根，为引出函数零点的概念做准备.

二、新知探究

教师出示函数的图象（如下图），让学生观察图象，用屏幕显示表格（如下表），让学生求出的实数根，并观察函数图象与x轴的交点坐标，得到方程的实数根与对应的函数图象与x轴交点的横坐标的对应关系，

函数的零点：使得的数称为方程的解，也称为函数的零点.

函数的零点就是函数的图象与x轴交点的横坐标.

结合函数零点的定义和刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？对于函数有零点，从“数”的角度理解，就是方程有实根；从“形”的角度理解，就是图象与x轴有交点从刚才的探究过程中我们知道，方程有实根和对应的函数图象与x轴有交点也是等价的关系所以函数零点实际上是方程有实根和对应的函数图象与x轴有交点的一个统一体，如下图所示.

观察二次函数的图象，我们发现函数在区间上有零点.计算与的乘积，发现这个乘积的特点是小于零.在区间（0，4）上同样如此，可以发现，因此可得以下结论：

零点存在定理：若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即，则在开区间内，函数至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解.

思考与交流：

（1）定理中，函数在闭区间上的图象是连续曲线，这里为什么是闭区间，能否改成开区间？

（2）定理中，，则在区间内，函数至少有一个零点；如果，是不是函数在开区间内一定没有零点？

（3）定理中，满足给出的条件，则在开区间内，函数至少有一个零点，你能否再给定理加上一个条件，让函数在区间内有且只有一个零点学生深入思考与交流，得出结论.

教师引导学生通过画图思考.

（1）如图.

（2）如图.

（3）加上条件“在内单调”.

学以致用：

观察下面的四个函数图象，指出在区间-∞,0内，方程哪个有解，并说明理由.

设计意图：由特殊函数归纳抽象出一般的定理，体现了由特殊到一般的数学思想方法通过思考与交流，让学生加深对定理的理解和认识，避免在应用中出现错误.

三、例题讲解

例1方程在区间内有没有解？为什么？

活动：学生回想判断函数零点的方法：解方程法和定理法由于本题中方程无法解，故用定理法，判断是否成立.

解：设函数，在区间上有.

又因为函数的图象是一条连续曲线，所以由零点存在定理可知方程在区间内有解，即在区间内有解，故方程在区间内有解.

点评：本题主要考查函数零点的概念及其判断方法.当无法解方程时，通常用定理法判断函数零点的存在性.

设计意图：让学生学会解决这类问题的方法，判断一个方程在一个给定的区间上是否有解，先看这个方程能不能解，如果可以解，解出方程便可知道方程解的个数；如果不能解，考虑用零点存在定理判定.

例2判定方程有两个不相等的实数根，且一个根大于5，另一个根小于2.

分析：转化为判断函数在和内各有一个零点.

解：设函数，显然有，.

画出函数的图象（如图），观察得

，

.

在区间[1，2]和[5，6]内分别应用零点存在定理，可知在区间（1，2）和（5，6）内，这个一元二次方程各有一个实数根（如图）.

所以方程有两个不相等的实数根，且一个根大于5，另一个根小于2.

设计意图：讨论方程的解的个数问题是函数零点的重要应用.由于函数与方程的特殊关系，所以这个问题常用的方法是：（1）解方程；（2）画与方程对应的函数的图象；（3）利用及函数的单调性同时，这些方法之间是相互联系的.

四、课堂小结

引导学生从以下几个方面进行归纳总结：

（1）零点的概念.

（2）零点存在的判断方法.

（3）利用函数的单调性证明零点的个数.

（4）函数零点的应用.

（5）数学思想：转化思想数形结合思想.

五、布置作业

教材第130页练习第2，3题.

板书设计

1.1利用函数性质判定方程解的存在性问题导入

二、新知探究

1.函数的零点的定义

使得的数称为方程的解，也称为函数的零点

2.零点存在定理

若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即，则在开区间内，函数至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解

例题讲解

例1

例2

四、课堂小结

五、布置作业

教学研讨

本案例从初中学生学习的方程出发，让学生意识到数学知识的发展过程.在课堂上采用问题式教学，引导学生自主探究、合作学习、体会知识的形成过程，尽量创设一个民主、和谐的课堂氛围，使学生感受到他们才是课堂的主人，体现新课标精神在教学过程中，对有些数学思想的渗透还不到位，课后需要进一步加强引导.