【学案】《6.6.1_柱、锥、台的侧面展开与面积》 (1).docVIP

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§6简单几何体的再认识

LLL6.1柱、锥、台的侧面展开与面积

课程内容标准

学科素养凝练

1．通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法．

2．了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式并解决有关实际问题.

通过学习柱体、锥体、台体的侧面展开及表面积的计算公式，提升数学抽象及数学运算素养.

1．圆柱、圆锥、圆台的表面积(其中r为圆柱、圆锥底面半径，r1，r2分别为圆台上、下底面半径，l为母线长)

旋转体

图形

表面积公式

圆柱

一个底面积：S底＝πr2

侧面积：S侧＝2πrl

表面积：S＝2πr(r＋l)

圆锥

底面积：S底＝πr2

侧面积：S侧＝πrl

表面积：S＝πr(r＋l)

圆台

上底面面积：S上底＝πr′2

下底面面积：S下底＝πr2

侧面积：S侧＝π(r1＋r2)l

表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)

2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积

多面体

侧面展开图

侧面积公式

直棱柱

S直棱柱侧＝c·h

c—底面周长

h—高

正棱锥

S正棱锥侧＝eq\f(1,2)c·h′

c—底面周长

h′—斜高

正棱台

S正棱台侧＝eq\f(1,2)(c1＋c2)·h′c、

c′—上、下底面周长

h′—斜高

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长．(×)

(2)多面体的表面积等于各个面的面积之和．(√)

(3)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(×)

(4)圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关．(√)

2．(教材P241练习1改编)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()

A．4π B．3π

C．2π D．π

C[底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.]

3．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()

A．1∶2 B．1∶eq\r(3)

C．1∶eq\r(5) D．eq\r(3)∶2

C[设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝eq\r(5)r，∴S侧＝πrl＝eq\r(5)πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶eq\r(5).]

探究一旋转体的侧面积(表面积)

(1)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为()

A．1∶1 B．1∶2

C．1∶3 D．1∶4

C[如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为截面与底面的圆心．因为O1为PO2的中点，

所以eq\f(PO1,PO2)＝eq\f(PA,PB)＝eq\f(O1A,O2B)＝eq\f(1,2)，

所以PA＝AB，O2B＝2O1A．

又因为S圆锥侧＝π·O1A·PA，

S圆台侧＝π·(O1A＋O2B)·AB，

则eq\f(S圆锥侧,S圆台侧)＝eq\f(O1A·PA,?O1A＋O2B?·AB)＝eq\f(1,3).]

(2)圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是________cm2.(结果中保留π)

1100π[如图所示，

设圆台的上底面周长为c，

因为扇环的圆心角是180°，

故c＝π·SA＝2π×10，

所以SA＝20，同理可得SB＝40，

所以AB＝SB－SA＝20，

所以S表面积＝S侧＋S上底＋S下底

＝π(r1＋r2)·AB＋πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)

＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．

故圆台的表面积为1100πcm2.]

[方法总结]圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．

[训练1]圆柱的侧面展开图是两边长分别为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为()

A．6π(4π＋3)

B．8π(3π＋1)

C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)

D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)

C[由题意，设圆术的底面半径为r，

圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2．

①当以边长为6π的边为母线时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，

即r＝2，所以S底＝4π，

所以S表＝S侧＋2S底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)．

②当以边长为4π的边为母线时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，

即r＝3，所